The Double Bubble Theorem

Double Bubble Theorem(이중 비누방울 정리)은 고전적인 isoperimetric problem를 두 영역으로 확장한 문제이다. 평면에서 서로 겹치지 않는 두 영역 $\Omega_1$, $\Omega_2$​의 넓이가 각각 $a_1$, $a_2$​로 주어졌다고 하자. 두 영역의 넓이를 각각 일정하게 유지하면서 모양을 자유롭게 변형할 때, 경계의 전체 길이를 최소로 하는 모양은 무엇일까?

 

두 영역이 서로 떨어져 있다면 각각을 원으로 만드는 것이 가장 효율적이다. 그러나 두 원의 둘레를 단순히 더한 것이 전체 경계 길이의 최솟값은 아니다. 두 영역을 서로 맞닿게 하면 일부 경계를 공유할 수 있으므로 전체 경계 길이를 더 줄일 수 있기 때문이다.

 

그 최적의 모양은 두 개의 비누방울을 붙였을 때 볼 수 있는 표준 이중 방울(standard double bubble)이다. 각 경계는 원호로 이루어지며, 세 원호가 만나는 두 점에서는 서로 ${120^\circ}$의 각도를 이룬다. Alfaro, Brock, Foisy, Hodges, Zimba는 주어진 두 넓이를 둘러싸는 평면 도형 가운데 이러한 표준 이중 방울이 경계의 전체 길이를 최소로 한다는 것을 증명하였다.

 

이는 하나의 영역에 대한 고전적인 등주문제, 즉 “주어진 넓이를 가장 짧은 둘레로 둘러싸는 평면 도형은 원이다”라는 결과를 두 영역으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 

 

특히 두 면적이 같은 경우 $a_1=a_2=a$인 경우 대칭성을 고려하면 경계는 직선이 된다. 각 방울의 반지름을 $R$이라 하면 한 영역의 면적은 

$$a= \frac{1}{2} R^2 \frac{4\pi}{3} + \frac{1}{2} R^2 \sin \frac{2\pi}{3} $$따라서 

$$ R_1 = R_2 =R = 2\sqrt{\frac{a}{{8\pi}/{3} + {\sqrt{3}}}}$$을 얻는다. 그리고 둘레길이는 $$ L=2\times R \frac{4\pi}{3} + 2 R \sin \frac{\pi}{3} = 2\sqrt{a\left(\frac{8\pi}{3} + \sqrt{3}  \right)}\approx 6.36  \sqrt{a}$$로 계산된다. 이 값은 겹치지 않는 면적 $a$인 두 원의 둘레 길이인 $4\sqrt{\pi a}= 7.09 \sqrt{a}$보다 작음을 알 수 있다. 두 영역의 면적이 서로 다른 경우에는 각 원호의 반지름을 $a_1$, $a_2$​만으로 나타내는 간단한 closed-form 표현은 없으며, 면적 조건과 $120^\circ$ 접합 조건을 만족하도록 수치적으로 구해야 한다.

 

3차원에서도 이에 대응하는 정리가 있다. 주어진 두 부피를 최소한의 표면적으로 감싸고 분리하는 모양은 표준적인 이중 비누방울이며, 세 개의 구면 조각이 공통 원에서 $120^\circ$로 만난다. 두 부피가 같으면 가운데 경계는 평면 원판이 된다. 이 일반적인 3차원 정리는 Hutchings, Morgan, Ritoré, Ros에 의해 증명되어 2002년 Annals of Mathematics에 발표되었다. (Annals of Mathematics)

 

한마디로 요약하면 “주어진 크기의 두 공간을 가장 경제적으로 둘러싸면 실제 비누방울 두 개가 붙은 모양이 된다”는 것이다.

Soap bubble physics:  https://youtu.be/Dk0dB4HYnu0?si=r9l9GNQA6-A9_pt6  

https://kipl.tistory.com/501

Fourier Series를 이용한 Isoperimetric Inequality 증명

 

https://kipl.tistory.com/187

주어진 길이의 폐곡선으로 가둘 수 있는 최대 면적의 도형은?