Integration along a branch cut-020

$$ I = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1-x}{1+x}\right)^{1/\alpha} dx = \frac{2\pi}{\alpha \sin (\pi/\alpha)}~~~(|\alpha| >1)$$

$\alpha=4$

복소평면에서 정의된 함수

$$ f(z) = \left( \frac{z-1}{z+1}\right)^{1/\alpha}$$

의 contour 적분을 고려하자.

Branch point가 $z=\pm1$이므로 그림과 같이 branch cut을 선택한다.

그러면

$$ 0 \le \text{arg}(z-1) \le 2\pi, \quad  0 \le \text{arg}(z+1) \le 2\pi$$

이다. contour는 그림과 같이 cut line을 감싸는 이중 열쇠고리 모양의 곡선($C_1 +C_2 +C_{\epsilon_1} + C_{\epsilon_2}$)과 $R \gg 1$를 시계 방향으로 도는 $C_R$을 고려하면 둘 사이 공간에 $f(z)$가 singularity를 가지지 않으므로 두 경로에서 적분이 같아야 한다. 

$$ \int_\text{double key holes} f(z) = \int_{C_R} f(z)$$

그리고

$$ f(z) = \left( \frac{1-1/z}{1+ 1/z}\right)^{1/\alpha} = 1 - \frac{2}{\alpha} \frac{1}{z}+\cdots$$

의 전개를 가지므로 무한대에서 residue가 존재하고 그 값은

$$ \text{Res}(z\to \infty) = \frac{2}{\alpha}$$

이므로 

$$ \int_{C_R} f(z) dz =    2\pi i \times \text{Res}(z\to \infty) =  i \frac{4\pi }{\alpha}$$ 

이다.  이중 열쇠구멍의 $C_1$에서 적분은  $z-1= (1-x)e^{i\pi}$, $z+1=(1+x) e^{i 0 }~(x:-1\to1)$이므로 

$$ \int_{C_1} f(z) dz = \int_{-1}^1 \left( \frac{1-x}{1+x}\right)^{1/\alpha } e^{i \pi/ \alpha} = e^{i \pi/\alpha} I$$

$C_2$에서 적분은 $z-1= (1-x) ^{i\pi}$, $z+1=(1+x) e^{i 2\pi }~(x: 1\to -1)$이므로 

$$ \int_{C_2} f(z) dz = \int_{1}^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x}\right)^{1/\alpha} e^{-i \pi/\alpha} dx= - e^{-i\pi / \alpha}I$$

그리고 $C_{\epsilon_1}$과 $C_{\epsilon_2}$에서 적분은 $0$이다. 따라서 

$$  (e^{i\pi/\alpha} - e^{-i \pi /\alpha} ) I =2 i \sin \left(\frac{\pi}{\alpha} \right)  I = i \frac{4\pi}{\alpha} \quad \to \quad I = \frac{2\pi}{\alpha \sin(\pi/\alpha)}$$