Brachistochrone Problem near a Point Star

점질량의 별이 있고 별의 중심에서 일정한 거리만큼 떨어진 한 지점에서 같은 거리만큼 떨어진 다른 지점으로 가는 마찰이 없는 경로가 만들어졌다고 하자. 경로가 어떤 모양일 때 최단시간으로 갈 수 있을까? 그리고 임의의 두 지점(별에서 같은 거리만큼 떨어진)을 연결하는 경로가 가능할까? 두 번의 질문은 답을 예상할 수 있는데, 별에서 볼 때 두 지점이 이루는 각도가 클수록 경로가 별에 가깝게 접근할 것인데, 이 경우 중력도 세지므로 물체의 속력이 빨라져서 경로가 중심을 향하는 직선에 가깝게 된다. 그런데 다시 중심에서 멀어져 목적지까지 가기 위해서는 경로가 심하게 휘어져야 할 것이다. 이 휘어짐에는 한계가 있을 것이므로 균일한 별의 내부에서처럼 임의의 두 지점을 연결하는 최단시간경로는 존재하지 않을 것으로 예상할 수 있다. 이를 구체적으로 보이기 위해서 별에서 $R$만큼 떨어진 지점에서 정지한 상태에서 출발하는 경우를 보자. 물체의 거리가 $r$일 때 속력은 

$$ v= \sqrt{2GM\left( \frac{1}{r} -\frac{1}{R}\right)}$$

별의 내부에서와 마찬가지로 별에서 가장 가까이 왔을 때를 기준으로 잰 각을 $\theta$라 하면 $\theta$가 만족해야 할 방정식은 변분법이나 Snell의 법칙등을 이용해서 얻을 수 있는데 그 결과는

$$ \left( \frac{d\theta}{dr}\right)^2 = \frac{C(R-r)}{r^5R-Cr^2 ( R-r)}$$

여기서 $c$는 상수이다. 별에 가장 가까이 접근한 위치에서 $d\theta/dr \to \infty$이므로

$$ C= \frac{r_\text{min}^3 R} {R- r_\text{min}}$$

이어야 한다. 이제 차원이 없는 거리 $\rho= r/R$, $\rho_0= r_\text{min}/R$을 사용하면 경로방정식은 

$$ (\dot\theta)^2 = \frac{\rho_0^3 (1-\rho)}{(1-\rho_0) \rho^5 -\rho_0^3 \rho^2 (1-\rho)}$$

이다. 물체가 $\rho:\rho_0\to 1$로 움직일 때 각의 변화는

$$ \Delta\theta_{h} = \int_{\rho_0}^1\sqrt{\frac{\rho_0^3 (1-\rho)}{(1-\rho_0) \rho ^5  -\rho_0^3 \rho^2 (1-\rho)}}d\rho= \frac{2}{3} \arccos (\rho_0^{3/2})$$ 

별에 근접하는 경우 $\rho_0 \to 0$이고 이때 각변화는

$$\Delta \theta_{h} \to \frac{\pi}{3}$$

으로 주어진다. 즉, 별에서 같은 거리만큼 떨어지고 사이각이 $120^\circ$가 넘는 두 지점을 연결하는 최단시간경로는 존재할 수 없다. 이는 출발할 때 속력이 0이기 때문에 일어날 수 있는 현상이다.