Brachistochrone Problem near a Point Star

 

점질량의 별이 있고 별의 중심에서 일정한 거리만큼 떨어진 한 지점에서 같은 거리만큼 떨어진 다른 지점으로 가는 마찰이 없는 경로가 만들어졌다고 하자. 경로가 어떤 모양일 때 최단시간으로 갈 수 있을까? 그리고 임의의 두 지점(별에서 같은 거리만큼 떨어진)을 연결하는 경로가 가능할까?

일반적으로 두 지점 사이의 사잇각($\Delta\theta$)이 커질수록, 물체는 중력을 가속도로 활용하기 위해 별의 중심에 가깝게 접근하는 경로를 택할 것이다. 별에 가까워질수록 중력이 강해져 속력이 빨라지므로, 경로는 중심을 향하는 직선에 가까운 형태가 된다. 그러나 목적지에 도달하기 위해서는 다시 중심에서 멀어져야 하며, 이 과정에서 경로가 급격히 휘어져야 한다. 별의 내부(균일 밀도)와 달리 점질량 모델에서는 중심 부근의 중력 잠재력 변화가 극심하므로, 이 휘어짐의 기하학적 한계로 인해 모든 지점을 연결하는 최단 시간 경로가 존재하지 않을 수 있음을 예측할 수 있다.

이를 구체적으로 보이기 위해서 별에서 $R$만큼 떨어진 지점에서 정지한 상태에서 출발하는 경우를 보자. 거리 $R$인 지점에서 정지 상태($v_0 = 0$)로 출발할 때, 역학적 에너지 보존 법칙에 의해 거리 $r$에서의 속력 $v$는 다음과 같다.

$$ v= \sqrt{2GM\left( \frac{1}{r} -\frac{1}{R}\right)}$$

변분법 또는 스넬의 법칙(Snell's Law)을 적용하여, 근일점(별에 가장 가까운 지점)에서의 각을 $\theta=0$으로 설정하면 다음과 같은 경로 방정식을 얻는다.

$$ \left( \frac{d\theta}{dr}\right)^2 = \frac{C(R-r)}{r^5R-Cr^2 ( R-r)}$$

여기서 $c$는 상수이다. 별에 가장 가까이 접근한 위치에서 $d\theta/dr \to \infty$이므로

$$ C= \frac{r_\text{min}^3 R} {R- r_\text{min}}$$

이어야 한다. 이제 차원이 없는 거리 $\rho= r/R$, $\rho_0= r_\text{min}/R$을 사용하면 경로방정식은 

$$ (\dot\theta)^2 = \frac{\rho_0^3 (1-\rho)}{(1-\rho_0) \rho^5 -\rho_0^3 \rho^2 (1-\rho)}$$

이다. 물체가 $\rho:\rho_0\to 1$로 움직일 때 각의 변화는

$$ \Delta\theta_{h} = \int_{\rho_0}^1\sqrt{\frac{\rho_0^3 (1-\rho)}{(1-\rho_0) \rho ^5  -\rho_0^3 \rho^2 (1-\rho)}}d\rho= \frac{2}{3} \arccos (\rho_0^{3/2})$$ 

별에 근접하는 경우 $\rho_0 \to 0$이고 이때 각변화는

$$\Delta \theta_{h} \to \frac{\pi}{3}$$

으로 주어진다. 별에서 같은 거리만큼 떨어져 있더라도 두 지점 사이의 각도가 $120^\circ$를 초과하는 경우 최속강하선은 존재할 수 없다. 이는 출발 시의 속력이 0이기 때문에 발생하는 물리적 제약으로, 중력을 이용한 가속의 이점보다 급격한 경로 굴절과 포텐셜 탈출에 드는 시간 손실이 더 커지기 때문에 나타나는 현상이다.