Bounding Envelope

지상에서 발사된 포탄의 경로는 중력 때문에 경로가 휘어서 포물선을 그리면서 운동한다. 한 지점에서 같은 속력으로 랜덤한 방향으로 발사된 포탄이 결코 도달할 수 없는 영역이 있는데 이 영역은 포탄의 가능한 포물선 경로에 포락선(envelope)의 바깥이 될 것이고, 그 포락선은 포물선이 됨을 어렵지 않게 보일 수 있다(3차원 공간에 따지면 포물면이다).

 

이제 중력이 일정하지 않고 거리에 제곱에 반비례하는 경우까지 확장해서 생각해보자. 이때 발사체의 경로는 conic section으로 표현되는데 에너지가 탈출속도 이하여서 항상 지구중력을 벗어날 수 없는 경우에는 타원궤도를 그리게 된다. 그러면 이 타원궤도의 bounding envelope는 어떻게 될까? 

우선 지상에서(꼭 지상일 필요는 없다) 발사된 물체의 경로는 지구 중심을 한 초점($F_1$)으로 하는 타원이 된다. 발사속력이 동일하므로 발사각에 무관하게 역학적 에너지는 같으므로 물체가 그리는 타원 궤도의 장축은 항상 같다. 타원의 모양은 에너지와 각운동량이 결정하는데, 제 2초점($F_2$)은 각운동량을 결정하는 발사각도에 따라 달라지게 된다.

그런데 모양에 상관없이 물체가 그리는 타원은 발사위치($P$)를 통과해야 한다. 이 사실은 이용하면 제 2초점이 어떻게 분포하는지 알 수 있다. 타원의 정의에 따라 $\overline{PF_1} + \overline{PF_2}= \text{장축길이}=2a$를 만족시켜야 하는데, 발사위치가 고정되어 있으므로 $\overline{PF_1}$은 타원의 모양에 상관없이 지구반지름($R$)으로 일정하므로 $\overline{PF_2}$도 일정한 값을 가져야 함을 알 수 있다. 발사각에 따라 타원의 제 2초점의 위치는 변하지만, 발사위치에서 2 초점까지 거리는 일정한 거리만큼 떨어져 있다. 즉, 타원의 제 2초점은 발사위치를 중심으로 하는 원 위에 분포한다. 

 

발사위치를 중심으로 2초점이 원을 그리게 타원을 회전시켜서 얻은 타원집합의 포락선도 타원임은 예측할 수 있지만 구체적으로 보이자. 포락선 상의 한 점 $X$를 고려하자. 이 $X$는 2 초점 $F_2$가 발사지점을 원점으로 하는 원 위에 있는 어느 타원에 속하는 점이다. $X$가 포락선에 있으려면 그 타원의 2 초점 $F_2$에 가장 가까이 있어야 한다. 그럼 2 초점 $F_2$는 어느 위치에 있어야 할까? $F_2$가 발사지점 $P$를 중심으로 하는 원 상에 있으므로 $P-F_2-X$가 일직선상에 배치되면 $\overline{X F_2}$가 가장 짧아진다. 이제 초점원의 반지름을 $r$이라면 

$$\overline{XF_2} =\overline{XP}-\overline{F_2P} =\overline{XP}- r $$

그런데 $X$는 지구중심($F_1$)과 $F_2$을 초점으로 하는 타원상의 점이므로

$$ \overline{XF_1} + \overline{XF_2}= 2a$$을 만족하는데 위의 결과를 대입하면

$$ \overline{XF_1} + \overline{XP}- r = 2a$$임을 알 수 있다. 이는 포락선 상의 임의의 한 지점 $X$가 지구중심과 발사위치를 초점으로 하고 장축길이가 $2a+r$ 타원 위에도 있음을 보인 것이다. 즉, 포락선은 타원이 됨을 증명했다.

 

그럼 이 포락타원의 장축과 이심률을 구해보자. 우선 포락선이 지구중심에서 가장 멀어 떨어진 위치를 찾자. 이 경우는 물체를 위로 똑바로 발사하는 경우이고 물체는 최고점까지 올라갔다가 다시 떨어지는 직선운동을 한다. 직선운동은 완전히 찌그러진 타원으로 최고점과 지구중심이 두 초점이 된다. 지구 중심에서 최고점까지 거리를 $r_\text{max}$라면 

$$ \frac{1}{2} v_0^2 -\frac{GM}{R} = -\frac{GM}{r_\text{max}}~~   \to~~r_\text{max} =\frac{R}{1-(v_0/v_\text{esc})^2}$$

이제, 지구중심과 발사위치에서 최고점까지 거리의 합을 구하면

$$ r_\text{max}+ (r_\text{max}-R) = R\frac{1+(v_0/v_\text{esc})^2}{1-(v_0/v_\text{esc})^2}$$

지구중심에서 포락선까지 가장 가까운 최근점까지 거리($r_\text{min}$)는 타원궤도의 2 초점이 발사위치에서 지구중심 반대편에 있는 경우이다. 발사위치와 이 위치에서 각운동량 보존과 에너지 보존을 쓰면

$$ v_0R = v_\text{min} r_\text{min},~~~~\frac{1}{2} v_0^2 -\frac{GM}{R} = \frac{1}{2} v_\text{min}^2 - \frac{GM}{r_\text{min}}$$

$$~~\to~~ r_\text{min} = \frac{R}{(v_\text{esc}/v_0)^2-1}$$

지구중심과 발사위치에서 최근점까지 거리를 더하면

$$ r_\text{min}+ (r_\text{min}+R) = R\frac{1+(v_0/v_\text{esc})^2}{1-(v_0/v_\text{esc})^2}$$

이다. 따라서 포락선은 지구중심과 발사위치를 초점으로 하는 타원임을 알 수 있다. 그리고 이 타원의 이심률은

$$ e_\text{env} = \frac{R}{r_\text{max} + r_\text{min}} = \frac{1- (v_0/v_\text{esc})^2}{1+ (v_0/v_\text{esc})^2}$$

발사속력이 탈출속력에 접근하면 어느 지점에나 다 도달이 가능하므로 포락선은 무한원이 된다.