빈공간에서 자기장은?

그림처럼 생긴 단면을 가진 매우 긴 두 직선 실린더형 도체가 있다. 왼쪽 부분은 지면에서 나오는 방향($\hat{z}$, 오른쪽 부분은 지면으로 들어가는 방향($-\hat{z}$)으로 같은 크기의 전류 $I_0$가 균일하게 퍼져 흐른다. 두 도체는 서로 절연되어 있다. 두 실린더 사이의 빈공간에서 자기장은?

풀이:  전류가 균일하게 퍼져 흐르므로 전류밀도가 균일하다. 전류가 흐르는 단면의 면적은 계산을 하면

$$ A=\pi r^2 - r^2 \left( \frac{2\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{r^2 }{6}( 2\pi + 3\sqrt3 ) $$

이고, 각 실린더에서 전류밀도 세기는 

$$J = \frac{I_0}{A} = \frac{6I_0}{r^2(2\pi + 3\sqrt{3} )}$$ 

서로 반대방향으로 같은 세기의 전류밀도 $J$를 가지는 온전한 반지름 $r$인 실린더를 그림처럼 겹치면, 겹치면 영역에서는 전류밀도가 상쇄되고, 나머지 부분은 원래의 문제와 동일해진다. 따라서 그림의 빈공간에서 자기장은 온전한 두 실린더에 서로 반대방향으로 균일한 전류밀도가 만드는 자기장의 중첩으로 계산할 수 있다. 온전한 실린더 중심에서 빈공간의 한 지점까지의 변위를 각각 $\mathbf{r}_L$, $\mathbf{r}_R$이라면 

\begin{align} \mathbf B = \frac{\mu_0 J}{2} \hat{z}\times \left( \mathbf{r}_L -\mathbf{r}_R \right)\end{align}

$$\hat{z}\times (\mathbf{r}_L - \mathbf{r}_R)= \hat{z}\times (r\hat{x}) = r \hat{y} $$이므로 

$$ \mathbf{B} = \frac{\mu_0 J }{2} r \hat{y}  = \frac{3\mu_0 I_0}{( 2\pi + 3\sqrt{3})r} \hat{y}$$