Geometry & Recognition

달표면의 물질은 달의 인력뿐만 아니라 지구의 인력도 받는다(물론 태양의 인력도 받지만 무시하자). 따라서 달이 지구에 너무 가까운 궤도에 생성되었다면 달표면의 물질에 작용하는 지구중력이 너무 세져서 달이 온전히 궤도운동을 하지 못하고 부서졌을 것이다. 달이 부서지지 않고 지구를 돌 수 있는 궤도 반지름의 최솟값은? 달은 변형이 될 수 있지만 간단하게 강체로 보자.

풀이: 달의 공전각속도는 $\omega$라고 하면 지구중력이 구심력 역할을 한다. 달 중심에서 지구 중심까지의 거리를 $d$라면 달의 공전각속도는

$$  \omega^2 d = \frac{GM_E}{d^2}$$

지구를 바로 보는 쪽 달 표면의 입자는 지구 중력(지구 중심 방향), 달의 중력(달 중심 방향)+ 달 표면이 지탱하는 수직항력(지구 중심 방향)의 합력을 구심력으로 하여 달과 더블어 공전을 한다.

$$ \omega^2 (d-R_m)  = \frac {GM_E}{(d- R_m)^2} - \frac {GM_m}{R_m^2} + N$$  

여기서 $d \gg R_m$이므로 우측 첫 항에 대해 테일러 전개를 하면

$$ \frac {GM_E}{d^3} (d- R_m) \approx  \frac{GM_E}{d^2} +2 \frac{GM_E R_m}{d^3} - \frac {GM_m}{R_m^2} +N $$

$$ \to~~~N = - 3\frac {GM_E R_m}{d^3}+\frac{GM_m}{R_m^2}$$

입자가 달 표면에 붙어 있을 조건이 $N\ge0$이므로 

$$d \ge \left(3\frac {M_E}{M_m} \right)^{1/3} R_m$$

등호는 달 표면의 입자가 달과 지구의 중력만 받고 달과 함께 공전할 수 있는 최소 거리를 의미한다. 이보다 거리가 더 줄어들면 지구의 중력이 달의 중력보다 커져서 달 표면의 입자는 달에서 작용하는 다른 힘의 작용이 없이는 달과 같이 공전할 수 없게 되어 달 표면에서 떨어지게 된다.

최소거리를 달과 지구의 밀도로 표현하면 $ M_E/M_m = (\rho_E/\rho_m) (R_E/R_M)^3$이므로

$$ d_\text{min} =\sqrt [3]{3} \times  R_E \left(\frac {\rho_E}{\rho_m} \right)^{1/3}\approx 1.45 \times R_E \left( \frac{\rho_E}{ \rho_m}\right)^{1/3}$$

달이 완전한 강체가 아니므로 지구쪽으로 길게 늘어질 것이므로 이 한계는 더 커질 것으로 예상할 수 있다는 데, 이를 고려하면

$$ d_\text{min}\approx 2.45\times R_E \left( \frac {\rho_E}{\rho_m}\right) ^{1/3}$$로 계산된다. 이 거리의 한계를 Roche limit이라고 부르고 지구-달의 경우는 $$d_\text{Roche} \approx 3.445\times R_E$$다. 실제 지구-달 사이거리는 $ 60 R_E$ 정도이므로 달에서 부스러기가 지구로 떨어질 염려는 없다.

그림은 지구 둘레를 돌고 있는 같은 질량의 인공위성이 움직이는 3가지 궤도를 보여준다. 인공위성의 궤도는 역학적 에너지와 각운동량에 의해서 결정이 되는데 이들 중 각운동량이 가장 큰 인공위성은?

역학적 에너지가 가장 큰 인공위성은?

어떤 천문학적인 사건으로 인해서 지구의 속도가 갑자기 0이 된다면 지구는 더 이상 공전운동을 하지 못하고 태양을 향해서 똑바로 떨어지기 시작할 것이다. 이 경우 태양에 추락하는데 얼마의 시간이 걸릴까?

힌트: 직접 운동방정식을 적분을 해서 구할 수 있다.

$$ \frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM_\text{sun}}{r^2}$$

그렇지만 Kepler의 제3법칙을 이용하면 복잡한 계산을 하지 않고도 구할 수 있다. 지구는 태양을 한 초점으로 하는 장축반지름이 $a$인 타원(거의 원에 가까운) 궤도를 그리면서 공전운동을 한다. 지구의 공전속력이 0이 되면 중력의 당기는 방향인 태양을 향해서 똑바로 떨어지는데 이 직선 궤도는 장축반지름이 $a/2$이고 완전히 납작하게 눌린 타원궤도(이심률=1: 타원의 두 초점이 선분의 양끝에 있다)로 생각할 수 있다.

그리고 행성궤도는 케플러의 세 가지 법칙을 만족하는데, 특히 공전주기의 제곱은 타원 장축반지름의 세제곱에 비례한다. 따라서 장축반지름이 $a$일 때의 주기 $T_a=365~\text{days}$ (정상적인 공전운동)와 장축반지름이 $a/2$일 때 주기 $T_{a/2}$(직선운동)는 다음 관계를 만족한다. 

$$ \frac{T_{a/2}^2 }{T_{a}^2} =  \frac{(a/2)^3}{a^3} = \frac{1}{8}$$

$$ \to~~T_{a/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} T_a$$

떨어지는 데 걸리는 시간은 납작궤도 공전주기의 1/2이므로 
$$ T = \frac{1}{2} T_{a/2} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \times ( 365~\text{days}) \approx 64.5~\text{days}$$