Geometry & Recognition

한번 적분하면(또는 역학적 에너지 보존를 이용함면)

$$ \frac{1}{2} v^2- \frac{GM_\text{sun}} {r} = const= - \frac{GM_\text{sun}}{a}$$이므로

$$ T = -\frac{1}{\sqrt{2GM_\text{sun}}} \int_a^0 \frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{a}}}$$

$$ = \sqrt{\frac{a^3}{2GM_\text{sun} }} \int_0^1 \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \sqrt{\frac{a^3}{GM_\text{sun}}}$$ 그런데 반지름 $a$인 원궤도의 공전주기가 $$ T_a= 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM_\text{sun}}}=365~\text{days}$$이므로 $$T = \frac{1}{4\sqrt{2}} T_a$$임을 알 수 있다.

이 문제의 차원을 가지는 물리량은 중력상수, 선밀도, 거리 $a$이므로 중력은 이들의 조합으로 써질 것이다.

$$F \propto G^\delta \rho^\beta a^\gamma $$

양변의 차원이 같아야 하므로 $\delta =1$, $\beta=2$,  $\gamma=0$임을 알 수 있다: $F \propto G \rho^2$. 따라서 떨어진 거리 $a$에 무관하다. 물론 $\alpha=0$인 경우는 발산하다. $\alpha$에 대한 의존도는 $\alpha$ 자체가 차원이 없으므로 차원해석으로 구할 수 없고, 직접 적분을 해야하는데 그 결과는 \[ F= \frac{2\pi G \rho^2}{\sin \alpha}  \]

중력 붕괴 상황에서 관여하는 물리량은 중력상수(G), 밀도 ($\rho$), 그리고 별의 크기 ($R$)뿐이다. 따라서 중력붕괴에 걸리는 시간도 이 세 물리량에만 의존할 것이다. 

$$T \sim G^a \rho^b R^c$$

양변의 차원을 맞추어 보면, $[G]={\rm m^3 /kg.s^2}$, $ [ \rho] = {\rm kg/m^3 }$이므로 

$$ T\sim G^{-1/2}\rho^{-1/2} R^0=\frac{1}{\sqrt{G \rho}}$$

이어야 한다. 즉, 중력붕괴에 걸리는 시간은 처음 반지름에 무관하다. 

케플러 1법칙에 의해서 미사일은 지구 중심을 한 초점으로 하는 타원궤도를 움직인다. 타원궤도 운동을 하는 물체의 역학적 에너지는 타원의 장반경이 작을수록 낮아진다: $E_{ellipse} = -\frac{GMm}{2a}$. 발사지점과 북극이 타원 위에 있다는 사실을 사용하자. 타원의 성질에 의해서 1 초점인 지구 중심에서 북극(또는 발사지점)까지 거리와 북극(또는 발사지점)에서 2 초점까지 거리 합이 장반경의 2배이다. 중심에서 북극/발사지점까지 거리는 지구 반지름으로 고정되어 있으므로 장반경을 줄이기 위해서는 북극/발사지점에서 2초점까지 거리가 최소가 되어야 한다. 기하학적으로 2 초점이 북극과 발사지점을 연결하는 중간(위도 45상)에 있으면 된다. 이 경우 장반경은 $2a =R + R\cos(45^\circ) = R(1+1/\sqrt{2})$로 주어진다. 따라서 역학적 에너지 보존을 쓰면 최소 속력을 구할 수 있다:

$$ \frac{1}{2}mv_{min}^2 -\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{ R(1+1/\sqrt{2})}.$$

foci = {{0, 0}, {1/2, 1/2}};
a = (Sqrt[2] + 1)/(2 Sqrt[2]);
{{x1, y1}, {x2, y2}} = foci;
d = EuclideanDistance @@ foci;
ParametricPlot[{{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2} + {a/d (x2 - x1) Cos[t] + 
     Sqrt[a^2/d^2 - 1/4] (y1 - y2) Sin[t],  a/d (y2 - y1) Cos[t] + 
     Sqrt[a^2/d^2 - 1/4] (x2 - x1) Sin[t]}, {Cos[t], Sin[t]}}, 
     {t, 0, 2 Pi}, Epilog -> {RGBColor[1, 0, 0], Point[foci]}]

지구 내부에서 중력장은 $\vec{g}= -\frac{GM}{R^3}\vec{r}$임은 쉽게 알 수 있다. 이 중력장이 오른쪽 절반에 작용하는 힘을 구하면 (쉽게 입자들의 모임으로 생각하자)

$$ \vec {F}_\text{right} = \sum_\text{right} m_i g(\vec{r}_i) = - \frac{GM}{R^3} \sum_\text{right} m_i \vec{r}_i $$

$\sum_\text{right} m_i \vec{r}_i$는 오른쪽 반구의 질량중심과 질량으로 표현이 가능한데, 그 결과(https://kipl.tistory.com/407)는 $\frac{M}{2} \frac{3}{8}R\hat{i}= \frac{3}{16} MR \hat{i}$ 이다($x$ 축=수평). 따라서 

$$ \vec{F}_\text{right} = - \frac{3}{16}\frac{GM^2}{R^2} \hat{i}$$이고, 이 힘은 왼쪽 절반이 오른쪽에 작용하는 중력과 오른쪽 절반이 오른쪽 절반에게 주는 중력의 합이다. 그런데 오른쪽 절반이 만드는 중력장에 의해서 오른쪽 절반이 받는 힘은 항상 작용-반작용의 짝을 가지므로 전체를 합하면 0이 된다. 즉, $\vec{F}_\text{right}$는 왼쪽 절반이 오른쪽 절반에게 주는 중력만 기여한다.