Geometry & Recognition

[Q1] 바닥 면적이 같지만 모양이 다른 두 용기에 같은 양의 물을 채워 넣었다. 비어있는 두 용기의 무게는 같다. 바닥이 받는 수압이 더 큰 쪽은? 

[Q2] 이제 두 용기를 저울에 올려보자. 저울 눈금이 더 크게 나오는 것은? 수압이 바닥에 주는 힘은 A가 더 큰 데, 용기+물의 무게는 두 경우 모두 같다. 눈금이 더 큰 쪽은 A일까? 아니면 B?  그도 아니면 같을까?

수평 바닥에서 장롱과 같은 물체를 양끝에서 들 때 두 사람이 같은 힘을 준다는 것은 경험으로 쉽게 알 수 있다. 그럼 경사진 계단에서 같은 물체를 들 때 누가 더 힘을 많이 쓰는가? 이를 물리법칙으로 설명할 수 있는가?

일정한 속도$(u)$로 달리는 기차 안에 있는 높이 $h$인 경사면이 있다. 경사면의 꼭대기에서 내려오는 물체가 바닥에 도착하기 직전 기차 안의 정지한 관찰자가 보는 속력$(v)$과 지상의 정지한 관찰자가 보는 속력 $w$를 비교해 보자.

1. 기차 안의 정지 관찰자;

$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 ~\longrightarrow ~ v= \sqrt{2gh}$$

2. 지상의 정지한 관찰자: 처음 물체는 $h$ 높이에서 오른쪽으로 $u$의 속력으로 움직이고 있다가 바닥에 도착하기 직전에는 $w$의 속력으로 가진다. 역학적 에너지 보존을 쓰면

$$mgh + \frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} mw^2 ~ \longrightarrow~ w = \sqrt{2gh + u^2}$$

3. 그런데 두 관찰자가 보는 물체의 속도가

$$ \vec{w} = \vec{v} + \vec{u}$$

(지상에서 볼 때는 기차 안에서 물체의 속도에 기차 속도가 벡터적으로 더해진다)로 연결되므로 이 식을 이용해서 $w$를 구하면

$$w = | \vec {v} + \vec{u}| = \sqrt{v^2 + u^2 -2uv \cos \theta} = \sqrt{2gh + u^2 - 2uv \cos \theta}$$

이므로 앞의 결과와 다르다.

역학적 에너지 보존법칙은 관찰자에 따라 달라지는가? (그럴 수는 없다) 무엇을 간과하고 있을까? 또, 어느 식이 옳은 식인가? 잘 생각해보면 이유를 알 수 있다.