Geometry & Recognition

막대의 오른쪽 끝 속도를 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v_\parallel=v \cos(30), v_\bot= v \sin (30) $으로 쓸 수 있고, 왼쪽 끝이 벽을 따라 내려오는 속도를 $v'$이라면 이 역시 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v'_\parallel= v' \cos(60), v'_\bot= -v' \sin (60)$이다. 막대는 강체이므로 막대방향 속도성분은 같다. $v'\cos(60)=v\cos(30)~\to~ v'=v/\sqrt{3}$. 따라서 막대는 중심에 대해서 양끝이 서로 반대방향으로 막대에 수직한 속도성분 $v/2$을 가지므로 반시계방향 회전각속도는 $v/L$임을 알 수 있다.

수평이 될 때 막대의 회전각속도는 역학적 에너지 보존에 의해

$$ mg \frac{L}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \frac{1}{3}mL^2 \omega^2~\longrightarrow~ \omega^2 = \frac{3g}{2L}$$

질량중심이 반지름 $L/2$인 원운동을 하므로 수평이 되었을 때 수평방향 힘(구심력)은 

$$ F_h = m \frac{L}{2} \omega^2 = \frac{3}{4}mg$$

또, 회전축에 대한 알짜 토크는 중력만 기여하므로 운동방정식에서 막대가 수평이 되었을 때 회전각가속도를 구할 수 있다.

$$ \tau = mg\frac{L}{2} = \frac{1}{3} mL^2 \alpha~\longrightarrow~ \alpha = \frac{3g}{2L}$$

이므로 질량중심 운동방정식의 수직성분을 쓰면

$$  mg - F_v = m a_t = m \frac{L}{2} \alpha  ~\longrightarrow ~F_v = \frac{1}{4}mg $$

따라서  회전축이 작용하는 힘은 $F = \sqrt{F_h^2 + F_v^2} = \frac{\sqrt{10}}{4}mg$.

이전 문제(https://kipl.tistory.com/528)와 마찬가지로 b,c,e는 등전위이고, d,g,f도 등전위이다. 충전이 완료된 경우 축전기로 흐르는 전류가 없음을 고려하면 전체 등가저항은 10/3옴이다. 따라서 배터리에서 나오는 전류는 $\frac{6~\text{V}}{10/3~\Omega}=1.8A$이고, 축전기에 걸리는 전위차는 $5\Omega$에 걸리는 전위차와 같으므로 $5\Omega \times \frac{1.8~\text{A}}{3}=3~\text{V}$이다. 축전기에 저장된 전하는 $\rm (5~\mu F) \times (3~V)=15~\mu F$