Geometry & Recognition

용수철 상수 $k$인 용수철에 질량 $m$인 물체를 매달면 길이가 $\ell$만큼 늘어난 위치까지 내려간다. 이 과정에서

1. 중력 위치에너지는 $mg\ell$ 만큼 감소한다. 

2. 용수철은 늘어났으므로 탄성 위치에너지가 $\frac{1}{2} k \ell^2$ 만큼 증가한다.

3. 늘어난 위치에서 "중력 = 탄성력" 이므로 $mg = k \ell$이어야 한다.

4. 증가한 탄성 위치에너지를 다시 정리하면, $\frac{1}{2} k\ell^2 = \frac{1}{2} (k \ell) \ell = \frac{1}{2} mg \ell$이다.

증가한 탄성 위치에너지가 감소한 중력 위치에너지의 절반밖에 안된다!!! 나머지는 어디로 갔을까? 에너지가 보존이 안되는 것일까?

오른쪽으로 속력 $v$로 와서 벽에 충돌한 후 왼쪽으로 속력 $v$로 나가는 경우 충돌 전과 후의 역학적 에너지는 같다. 같은 상황을 오른쪽으로 일정한 속력 $v$로 달리는 사람이 보면 처음 공은 정지해 있다가 충돌 후 왼쪽으로 $2v$의 속력으로 움직이게 된다. 이 관찰자 입장에서 보면 역학적 에너지가 보존이 안되는 것처럼 보인다? 그럴까? 역학적 에너지 보존은 관찰자에 따라 달라지는 개념인가?

속도 $v$의 총알($m$)을 각각 길이 $L$인 줄에 매달린 물체($M$)와 길이 $L$인 막대($M$) 끝을 향해 발사했다. 총알은 물체와 막대에 박힌 후 함께 운동한다. 두 물체가 올라갈 수 있는 최대 높이가 (수직에 대해서 기울어진 최대각) 더 큰 쪽은? 단, 막대를 지탱하는 회전축에 마찰은 없다.