Geometry & Recognition

붙잡는 과정에서 충격량 $\vec{J} = J \hat{i}$이 동전에 전달된다(전제: 붙잡는 순간 동전면이 $y-z$평면에 있고, 위에서 내려다 볼 때 반시계방향으로 회전한다. 따라서 $\vec{\omega} = \omega \hat{k}$). 붙잡힌 직후 운동량 변화는

$$ \Delta \vec{P} =J  \hat {i}$$  충격량은 각운동량도 변화시키므로 (붙잡힌 지점: $\vec{r}_P = R\sin \theta \hat{j} + R\cos \theta \hat{k}$)

$$ \Delta \vec{L} = \vec{r}_P \times \Delta \vec{P} =  -JR \sin \theta \hat{k}+ JR \cos \theta \hat{j}$$

따라서 붙잡힌 직후 동전의 각운동량은

$$ \vec{L}_f = I_z \omega \hat{k}  -JR \sin \theta \hat{k}+ JR \cos \theta \hat{j}$$

붙잡히 지점은 정지하므로

$$ \vec{v}_f = \vec{v}_\text{cm} + \vec{\omega}_f \times \vec{r}_P=0$$

$$ \frac{J}{M} \hat{i} - \omega R\sin \theta  \hat{i} +\frac{1}{I_z} (JR \sin\theta) R\sin \theta \hat{i} + \frac{1}{I_y} (J R \cos \theta) R \cos \theta \hat{i} = 0$$

그런데 $I_y = I_z = \frac{1}{4} MR^2$이므로

$$ J =  \frac{M}{5} \omega R \sin \theta$$ 회전축에서 먼 지점을 붙잡을수록 더 큰 충격이 필요함을 알 수 있다. 붙잡히기 직전 그 지점의 접선 속력이 

$$ v_i = \omega R \sin \theta ~~\to ~~ J = \frac{M}{5} v_i $$

이므로 붙잡힌 직후 질량중심이 움직이는 속력은

$$ v_{f, \text{cm}} = \frac{J}{M} = \frac{v_i}{5}$$

사슬 뭉치는 떨어지는 동안에는 자유낙하를 한다. 떨어지는 거리를 $y$(아래 방향+), 속도를 $v$라면,

$$y= \frac {1}{2} gt^2,\quad v=gt$$

이고 다 떨어지는 데 걸리는 시간은 $t_1 = \sqrt {2L/g}$이다.

천장이 줄을 지탱하는 힘을 $f(t) ~(\uparrow)$라면, 사슬 전체(관심 대상은 사슬 전체임. 왜냐면 천장이 주는 외력 $f(t)$가 사슬의 끝에 작용하기 때문임)의 운동 방정식은

$$\sum F_y = mg - f(t) = \frac {dp}{dt}$$

떨어지는 동안 사슬의 운동량은 움직이는 부분의 질량이 $m'=m - \frac {1}{2} gt^2 \lambda$이므로 $p = m'v =\lambda (L- \frac {1}{2} gt^2)(gt)$로 주어진다. 따라서, 다 풀리기 직전에 지탱하는 힘(위쪽 방향)의 크기는

$$ f(t=\sqrt {2L/g}) = mg - m ( g - 3 g) = 3mg$$.

직관적으로는 떨어지는 사슬 뭉치에서 $dm$만큼의 질량이 풀리면 이 부분의 속도가 $v \rightarrow 0$으로  변한다. 따라서 운동량의 변화도 $dp = (dm) (0-v) = -vdm$ (-=위쪽 방향). 이 운동량에 변화를 일으키는 힘은 사슬을 통해서 전달되는 충격력이다(사슬은 중력도 같이 받고 있지만, 중력은 nonimpulsive 힘이므로 순간적으로 물체를 정지시키는 작용을 하지 못한다). 뭉치에서 풀려 정지하는 질량은 $dm= \lambda dy = \lambda v dt$이고, 다 풀리는 순간 속력 $v=\sqrt {2gL}$이므로, $dp = \lambda v^2 dt = 2mg dt$. 따라서 사슬 끝이 주어야 할 충격력은 $2mg$이고 여기에 사슬 자체의 무게를 더하면 사슬 끝에서 지탱해야 할 힘이 나온다.

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력에( 바닥의 수직항력) 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분(관심 대상은 떨어지고 있는 부분과 충격력에 의해서 순간 정지하는 미소 질량까지 포함된 계이다. 왜냐면 바닥의 충격력 $f$가 미소 질량에 외력으로 작용하기 때문임)에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2,  \quad m(t)=\lambda (L- y)= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \frac{dp}{dt} = \sum F_y = m g - f(t).$$

$$ \frac{dp}{dt}= \frac{d(m v )}{dt} = \frac{dm}{dt} v + m \frac{ d v}{dt} = - \lambda g t^2 + m g $$

이므로 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ -\lambda g^2 t^2 +  mg = mg - f(t) \quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

보다 직관적으로는 사슬의 떨어지는 끝부분이 바닥에 닿는 순간 속도가 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.