Geometry & Recognition

일단 체인(선밀도$=\lambda$)이 떨어지면 공중에 떠있는 부분은 같은 속력으로 움직인다.  책상 위에서 떨어지기 시작한 체인은 속도가 0인 상태에서 유한한 값으로 변하므로 impulsive force가 필요하고 체인의 장력이 이 역할을 한다. 체인이 내려가는 속력이 $v$일 때 책상 위의 미소 길이 $dx$가 움직임을 시작하는 경우 운동량의 변화량은 $dp= dm (v - 0) = \lambda dx v$이므로 필요한 충격량은 $f = dp/dt = \lambda v^2$이다. 떨어지는 체인 부분에 같은 크기의 반작용이 작용한다.

 떨어지는 부분의 길이 $x$일 때 작용하는 힘은 중력($(\lambda x)g$)와 impulsive force의 반작용(장력: 위쪽 방향)이므로 뉴턴의 운동방정식은(관심 대상은 추가된 미소질량을 포함한 부분이 아닌 이미 떨어지고 있는 부분이다. 왜냐면 이 부분에 작용하는 외력 $f$의 정보를 알기 때문임) \begin{gather} ma=\sum F \\ \rightarrow\quad  (\lambda x) \frac{dv}{dt} = (\lambda x) g - f = \lambda x g - \lambda v^2 \\ \rightarrow\quad x \frac{dv}{dt} = xg - v^2.\end{gather} 시간 대신 떨어진 길이를 독립변수로 사용하면 $dv/dt = v dv/dx = \frac{1}{2} dv^2/dx$

$$ \frac{dv^2 }{dx} + \frac{2}{x} v^2 = 2g$$

을 얻을 수 있다. $v^2$에 대한 선형 미분방정식이므로 답은 쉽게 찾을 수 있다:

$$  v= \sqrt{\frac{2g}{3}x}.$$

따라서 가속도는

$$  a= \frac{dv}{dt} = \sqrt{ \frac{2g}{3}} \frac{v}{2\sqrt{x}} = \frac{g}{3},$$ 

이어서 등가속도 운동임을 알 수 있다.

그런데, 역학적 에너지를 구하면

$$ E= \frac{1}{2} \lambda x v^2 - \lambda x g \frac{x}{2}=-\frac{1}{6}\lambda g x^2=-\frac{mgL}{6}\left( \frac{x}{L}\right)^2,$$

이므로 체인이 내려감에 따라 에너지 손실이 발생함을 볼 수 있다. 어디로 간 것일까요? 이는 impulsive force가 작용한 효과로 이해할 수 있다.

[두번째 풀이]: 새로이 추가되는 $dm$까지를 계로 선택하며($dm$이 책상 위의 나머지 부분에 주는 힘은 없다) 계가 받는 수직 방향 알짜외력은 떨어지는 부분의 무게뿐이다. 따라서 계의 운동방정식은 (계의 질량은 계속 추가되므로 가변이다)

$$ \frac{dp}{dt} = mg , \quad p = mv = \lambda x v \\ \Longrightarrow ~~\frac{d}{dt}( \lambda x v) = \lambda x g \\   \Longrightarrow ~~x \frac{dv}{dt} + v^2 = x g $$이어서 같은 결과를 얻는다. 물론 추가되는 $dm$은 책상 위 정지한 뭉터기에서 수평으로 이동해서 구멍 위에 놓이기 위해서는 수평힘이 있어야 하므로 실제는 구멍근처에서 체인이 둥글게 휘어지면서 떨어져야 하고 이 경우 장력의 일부가 추가적으로 외력으로 들어올 수 있다. 이 문제에서는 직각으로 꺽인다는 가정을 사용한 것이다.

사슬 뭉치는 떨어지는 동안에는 자유낙하를 한다. 떨어지는 거리를 $y$(아래 방향+), 속도를 $v$라면,

$$y= \frac {1}{2} gt^2,\quad v=gt$$

이고 다 떨어지는 데 걸리는 시간은 $t_1 = \sqrt {2L/g}$이다.

천장이 줄을 지탱하는 힘을 $f(t) ~(\uparrow)$라면, 사슬 전체(관심 대상은 사슬 전체임. 왜냐면 천장이 주는 외력 $f(t)$가 사슬의 끝에 작용하기 때문임)의 운동 방정식은

$$\sum F_y = mg - f(t) = \frac {dp}{dt}$$

떨어지는 동안 사슬의 운동량은 움직이는 부분의 질량이 $m'=m - \frac {1}{2} gt^2 \lambda$이므로 $p = m'v =\lambda (L- \frac {1}{2} gt^2)(gt)$로 주어진다. 따라서, 다 풀리기 직전에 지탱하는 힘(위쪽 방향)의 크기는

$$ f(t=\sqrt {2L/g}) = mg - m ( g - 3 g) = 3mg$$.

직관적으로는 떨어지는 사슬 뭉치에서 $dm$만큼의 질량이 풀리면 이 부분의 속도가 $v \rightarrow 0$으로  변한다. 따라서 운동량의 변화도 $dp = (dm) (0-v) = -vdm$ (-=위쪽 방향). 이 운동량에 변화를 일으키는 힘은 사슬을 통해서 전달되는 충격력이다(사슬은 중력도 같이 받고 있지만, 중력은 nonimpulsive 힘이므로 순간적으로 물체를 정지시키는 작용을 하지 못한다). 뭉치에서 풀려 정지하는 질량은 $dm= \lambda dy = \lambda v dt$이고, 다 풀리는 순간 속력 $v=\sqrt {2gL}$이므로, $dp = \lambda v^2 dt = 2mg dt$. 따라서 사슬 끝이 주어야 할 충격력은 $2mg$이고 여기에 사슬 자체의 무게를 더하면 사슬 끝에서 지탱해야 할 힘이 나온다.

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력에( 바닥의 수직항력) 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분(관심 대상은 떨어지고 있는 부분과 충격력에 의해서 순간 정지하는 미소 질량까지 포함된 계이다. 왜냐면 바닥의 충격력 $f$가 미소 질량에 외력으로 작용하기 때문임)에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2,  \quad m(t)=\lambda (L- y)= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \frac{dp}{dt} = \sum F_y = m g - f(t).$$

$$ \frac{dp}{dt}= \frac{d(m v )}{dt} = \frac{dm}{dt} v + m \frac{ d v}{dt} = - \lambda g t^2 + m g $$

이므로 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ -\lambda g^2 t^2 +  mg = mg - f(t) \quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

보다 직관적으로는 사슬의 떨어지는 끝부분이 바닥에 닿는 순간 속도가 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.