Geometry & Recognition

1차원 열방정식은 

$$ u_t (x,t)= \kappa u_{x x}(x,t), \qquad -\infty < x < \infty,~t>0 $$

으로 초기조건이 주어지거나 경계조건이 주어야 한다. $u(x,t)$가 해라면 $u(\lambda  x , \lambda^2 t)$ 또한 해가 됨음 쉽게 확인해 볼 수 있다. 즉, 열방정식은 scale 변경에 불변이 특성을 가진다. 이 특성을 이용해서 열방정식의 특별한 해를 구해보자. scale 불변성을 보면 해의 $x,t$에 대한 의존성은 $x/\sqrt{t}\to \lambda x/\sqrt{\lambda^2 t} = x/\sqrt{t}$의 조합형태로 나타나야 될 것으로 보인다.

$$ u(x,t) = h(x/\sqrt{t})$$

그런데 에너지 보존에 의해서 계의 전체 열에너지는 시간에 무관하게 일정한 값을 가져야 한다. 열에너지가 온도에 비례하므로 총 열에너지는 다음 적분값에 비례한다.

$$ \int_{-\infty}^\infty u(x,t) dx = \text{const}$$

따라서 $u = h(x/\sqrt{t})$와 같은 형태의 해는 에너지 보존을 만족시킬 수 없다.

$$ \int _{-\infty}^\infty h(x/\sqrt{t}) dx = \sqrt{t} \int_{-\infty}^\infty h(y) dy \propto \sqrt{t}$$

그렇지만 $u(x,t) dx $가 스케일 불변꼴이면 가능하므로 

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{t}} h( x / \sqrt{t})$$

와 같은 형태로 시도하자. 그러면 열방정식의 좌우변의 항이

$$ u_{xx} = t^{-3/2} h'' (x/\sqrt{t}), \qquad u_t = -\frac{1}{2} t^{-3/2}\Big[ h(x/\sqrt{t}) + h'(x/\sqrt{t}) x/\sqrt{t} \Big] $$

이므로 이를 열방정식에 대입하면 ($y= x/\sqrt{t}$)

\begin{align} \kappa h''(y) + \frac{1}{2} h(y) + \frac{1}{2} y h'(y)=0 \\ \to ~ h''(y) + \frac{1}{2\kappa} (y h(y) )' = 0 \\ \to~ h'(y) + \frac{y}{2\kappa } h(y) = \text{const} \to 0 \end{align}

여기서 $\text{const}=0$ 일 때 해만 고려한다. 이 경우

$$ h(y) = A e^{- y^2/4\kappa} \qquad \to \qquad u(x,t) = \frac{A}{\sqrt{t}} e^{- x^2 / 4\kappa t } $$

인 해를 얻는다. $\int _{-\infty}^\infty u(x,t) dx = 1$로 정규화시키면 적분상수 $A$는

$$ A= \frac{1}{\sqrt{4\pi \kappa } }$$

임을 알 수 있다. 이렇게 정규화된 해를 열방정식의 기본해, Green 함수 또는 heat kernel이라고 부른다.

$$K(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t} }e^{- x^2/4\kappa t}$$

$K(x,t)$는 $t\to 0^+$일 때 $\delta(x)$와 같은 특성을 가지는데, 물리적으로는 $t=0$ 시점에 원점에 $\delta-$함수로 표현되는 열원을 놓았을 때 열의 확산을 기술하는 해이다. 열방정식이 선형이므로  $x-$축을 따라 분포된 각각의 $\{ \delta(x-x_i)| i=1,2,\dots\}$ 열원의 선형결합도 해가 된다. 

$$ u(x,t) = \sum_i K(x-x_i, t) f_i$$

또한 연속적으로 분포하는 열원의 경우에는 합을 적분형태로 변경하면 되므로 $t=0$일 때 온도분포가 $f(x)$로 주어진 경우 다음 표현이

$$ u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty K(x-y, t)f(y)dy$$

열방정식을 만족시키고, 초기조건도 만족시킴을 확인할 수 있다.

$$ \lim_{t\to 0} \int_{-\infty}^\infty K(x-y, t) f(y)dy = \int_{-\infty}^\infty \delta(x-y) f(y) dy = f(y)$$

해의 몇가지 재미있는 특징을 살펴보자. $t=0$일 때 열원이 유한한 영역에서만 0이 아니더라도 $K(x,t>0)$가 0이 아니기 때문에 매우 짧은 시간에 모든 영역으로 열이 퍼져나간다. 즉 열이 퍼지는 속도가 무한대에 해당한다. 열방정식은 비상대론적인 방정식이다. 두 번째로 $t>0$일 때 $K(x-y,t)$가 $x=y$인 지점에서 벗어나는 경우에 매우 빨리 0으로 변하므로 해는 무한번 미분가능하다. 즉, 처음 주어진 온도 분포가 불연속적이더라도 바로 매끄러운 온도분포로 변하게 만드는 특성이 있다. 이 열방정식을 잡음이 들어있는 신호나 영상에 적용하면 smoothing 효과를 줄 수 있다. 그리고

\begin{align}u(\lambda x, \lambda^2 t) &= \int K(\lambda x - y, \lambda ^2 t) f(y)dy \\ &= \int K(\lambda x - \lambda y' , \lambda^2 t )  {\lambda } f(\lambda y') dy' \\ &= \int K(x-y',t)  {\lambda }f(\lambda y') dy' \end{align}

이므로 스케일링된 해는 초기 온도분포가 $\lambda f(\lambda y)$인 경우와 같음을 알 수 있다. 초기에 국소적으로 가열된 경우라면 $\lambda f(\lambda x)$의 분포는 거의 $\delta$ 함수에 접근할 것이므로 충분히 시간이 지나고 먼 거리에서는 온도분포는 초기조건에 무관하게 됨을 알 수 있고, 이는 smoothing 효과로 이해할 수 있다.

지구 표면의 온도는 1년을 단위로 거의 주기적으로 변한다. 그럼 땅속의 온도는 시간과 깊이에 따라 어떻게 변할까? 지표면이 태양으로부터 받은 열은 일부는 반사되고 일부는 땅속으로 전달된다. 땅속에서 온도의 변화는 열방정식에 의해서 표현할 수 있다. 땅속의 온도분포 $u$가 지표면에서 깊이 $x$와 시간 $t$에만 의존한다면 $u(x,t)$가 만족하는 열방정식은(거리척도를 적당하게 잡아 계수를 단순화시킨다)

$$ u_t(x,t) = u_{xx} (x,t)$$

로 주어진다. $u(x,t)$가 $t$에 대해서 주기가 $1$년인 주기함수이므로 Fourier 급수를 이용해서 방정식을 풀도록 하자. 

\begin{gather} u(x,t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty} C_n (x) e^{i 2\pi n t} \\ C_n(x)= \int_0^1 u(x,t) e^{-i 2\pi n t} dt \end{gather}

Fourier 계수 $C_n(x)$를 두 번 미분하면

\begin{align} \frac{d^2 C_n(x)}{dx^2} & = \int_0^1 u_{xx}(x,t) e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= \int_0^1  \frac{ \partial u (x,t)}{\partial t} e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= i 2\pi n \int_0^1 u(x,t) e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= i 2 \pi n C_n(x)\end{align}

이므로 $C_n$은 다음의 방정식을 만족해야 한다.

$$ \frac{d^2 C_n (x)}{dx^2}  = i 2\pi n C_n (x) $$

깊이 $x$가 증가할 때 온도가 발산하지 않는 조건을 고려하면 이 방정식의 해는 

$$ C_n (x) = \left\{ \begin{matrix}  A_n e^{- \sqrt{\pi n} (1+i)x}~~~n \ge 0 \\A_n e^{ -\sqrt{\pi |n|}(1-i)x}~~~n<0 \end{matrix} \right.$$

로 쓸 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 따라서 열방정식의 해 $u(x,t)$는

$$ u(x,t) = \sum _{n=- \infty}^{\infty} A_n e^{- \sqrt{\pi  |n| }x} e^{ i (2\pi n t - \text{sign}(n) \sqrt{\pi |n| } x) }   $$

처럼 쓰인다. 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 계절에 따른 온도변화가 점점 작아진다. 그리고 깊이에 따른 위상이 추가되므로 지표면에서의 온도변화와 다른 양상을 가지게 된다. 이를 구체적으로 보기 위해서 계절에 따른 지표면에서 온도 $u(x=0,t)$을 간단히 시간 $t$에 대한 사인함수로 근사하자. 이 경우 평균온도가 0인데, 평균온도가 0이 아니 경우는 여기서 구한 해에  평균온도만큼을 더해주면 된다.

$$u(0, t) = \sin (2\pi t)$$

지표면에서 Fourier 계수는 

\begin{align} C_n(0) =A_n  &= \int_0^1 u(0,t)   e^{-i 2\pi n t} dt \\ &=\left\{  \begin{matrix} \pm \frac{1}{2i} ~~~n=\pm 1 \\ 0~~\text{otherwise}  \end{matrix} \right. \end{align}

따라서 해는 

\begin{align} u(x,t) &= \frac{1}{2i} e^{-\sqrt{\pi}(1+i)x} e^{i2 \pi t} -\frac{1}{2i} e^{-\sqrt{\pi} (1-i)x }e^{-i 2\pi t} \\ &= e^{-\sqrt{\pi} x} \sin (2 \pi t - \sqrt{\pi}x) \end{align}

해를 보면 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 온도변화가 점점 사라지고, 시간에 대해서는 깊이에 따른 위상변화가 생긴다. 특히 깊이 $x= \sqrt{\pi}$에서는 위상이 $\pi$ 만큼 변해서 지표면에서의 시간에 대한 온도변화와 완전히 반대로 행동한다. 즉, 겨울에는 따뜻하고 여름에는 시원해진다. 물론 이 깊이는 땅의 열확산계수($\kappa$)에 따라 달라진다. 열확산계수를 고려하려면 $x \to x/\sqrt{\kappa}$을 사용하면 된다. 땅의 열확산계수가 $\kappa \sim 0.1\times 10^{-6} \rm{m^2 / s=3.15 m^2/yr}$ 정도이므로 $x=\sqrt{\kappa \pi} \sim 3 \rm m$이다. 즉, 땅 속 깊이 $x\sim 3\rm m$ 정도이면 온도변화는 지표면의 $e^{-\pi}=0.043$배 정도로 줄어들고 겨울이 여름보다 상대적으로 더 따뜻하게 된다.

이는 물리적으로 쉽게 이해를 할 수 있는 현상으로 깊이 들어갈수록 온도차가 작아져서 열전달이 느려지므로 상대적으로 빨리 변하는 표면에서의 온도변화에 맞추지 못하여 변화가 지연되어 나타나는 것으로 볼 수 있다.