공중에 머무른 시간은?

위로 $10\text{m/s}$로 쏘아 올린 공이 바닥에 떨어질 때 속력은 $8\text{m/s}$ 였다. 공기저항이 속력에 비례한다고 할 때 공이 공중에 머무른 시간은?

1. $\frac{18}{9.8}\text{s}$

2. $\frac{18}{9.8}\text{s}$ 보다 길다.

3. $\frac{18}{9.8}\text{s}$ 보다 짧다.

4. 정보 부족

 

Hint: 운동 방정식의 해를 직접 구해서 확인할 수도 있지만, 운동 방정식을 잘 살펴보면 구체적인 계산 없이도 답을 얻을 수 있다.

운동방정식을 쓰면

$$m\frac{d{v}_y}{dt}=-mg-kv=-mg-k\frac{dy}{dt}$$

양변을 시간에 대해 적분하면,

$$m(v_y(t_f)-v_y(t_i))=-mg(t_f-t_i)-k(y(t_f)-y(t_i))$$

이고, $y(t_f)=y(t_i)$이므로

$$t_f-t_i=-\frac{v_y(t_f)-v_y(t_i)}{g}=-\frac{-8-10}{9.8}\text{s}$$