막대가 벽에서 떨어지는 각도는?

매끄러운 벽에 기대어 서있는 막대의 아랫부분을 살짝 오른쪽으로 당기면 막대는 벽을 타고 미끄러지기 시작한다. 바닥도 매끄럽다. 막대가 벽에서 떨어지는 각 $\theta$는? 

1. 바닥까지 접촉 상태로 내려간다: $\theta=0$

2. $\sin^{-1}(2/3)$

3. $\sin^{-1}(2/3)$보다 크다.

4. $\sin^{-1}(2/3)$보다 작다.

5. 막대의 길이/질량에 따라 달라진다.

 

수평과 $\theta$ 각을 이룰 때 막대는 막대-벽-바닥의 접촉점이 만드는 사각형의 바깥쪽 꼭짓점을 기준으로 순간적인 회전운동으로 이해할 수 있다. 이 점에 대한 회전관성은 $I=\frac{1}{6}mL^2$이므로 역학적 에너지 보존에 의해서 회전 각속도를 구할 수 있다.

$$ \omega^2 = \frac{3g}{L}(1-\sin \theta)$$

따라서 각가속도는 

$$\alpha = -\frac{3g}{2L}\cos \theta$$

막대의 질량중심 수평좌표 $x= \frac{L}{2}\cos \theta$을 두 번 미분해서 질량중심의 가속도

$$a_x = \frac{3g}{4}\cos \theta (2 - 3\sin \theta)  $$

을 얻을 수 있는데, 벽에서 떨어지면 수평방향의 외력이 사라지므로 $a_x=0$이어야 한다. 이 조건에서 $\sin \theta = 2/3$임을 알 수 있다.