Slinky의 늘어난 길이는?

용수철 상수는 $k$이고 질량이 $m$인 slinky가 있다. slinky의 한쪽을 매달면 자체의 무게 때문에 아래로 처지게 된다. 매달린 slinky의 맨 아래 부분은 중력을 받지 않을 때 위치에서 얼마나 내려왔을까?

1. $mg/k$

2. $mg/2k$

3. $mg/3k$

4. $mg/4k$

5. 정보가 부족

 

slinky의 꼭대기에서 $y$ (자연 상태에서 위쪽에서 잰 위치)만큼 떨어진 부분이 무게 때문에 $y+f(y)$만큼 내려왔다고 하자. 이 $f(y)$가 무게 때문에 추가로 얼마나 더 쳐지는가를 알려주는 함수다. 미소 부분 $dy$는 $dy+df$만큼 늘어난다. 이 미소 부분의 FBD을 그리면 위쪽으로는 $T$가 작용하고,  아래쪽으로는 미소길이의 무게와 $\lambda g df$와 $T+dT$가 작용한다($dT <0$). $T$는 미소길이가 늘어났기 때문에 생기는 장력으로, 미소길이에 해당하는 용수철 상수는 $k L /dy$다: 용수철의 직렬 연결로 생각하면 길이가 짧아질수록 용수철은 더 딱딱해진다. 따라서, 장력을 미소길이의 늘어난 정도로 표현하면

$$ T = \Big( k\frac{L}{dy} \Big) df = kL \frac{df}{dy}$$ 

그리고 $T$는 나머지 아래의 무게를 지탱하므로 (또는 미소길이 부분에 뉴턴 법칙을 적용해서 얻은 식 $dT = -\lambda g dy, ~T(0)=\lambda g L$을 적분하던지)

$$ T = (L- y)\lambda g$$

두 식을 연립하면 

$$ \frac{df}{dy} = \frac{\lambda g}{kL }(L-y)$$

을 얻는다. 이 식은 단위길이당 slinky가 늘어나는 비율이 $y=0$에서 제일 크고, $y=L$에서는 0임을 보여준다. 이식을 적분하면 전체적으로 늘어난 길이의 누적합은

$$ f(y) = \frac {\lambda g}{kL}\left( Ly - \frac{1}{2}y^2\right) = \frac{mg}{k}\left( \frac{y}{L} -\frac{y^2}{2L^2}\right) $$

따라서 

$$f(L) = \frac{mg}{2k}$$

추가로  slinky의 무게중심은 얼마나 내려갔을까?