막대의 운동에너지는?

어느 순간 막대 양끝의 속도가 그림과 같다. 이 막대의 운동에너지는?

1. $\frac{9}{8} mv^2$

2. $\frac{7}{6} mv^2$

3. $\frac{5}{4} mv^2$

4. 이중에 답이 없다.

 

 

막대를 미소길이로 나누어서 각 부분의 운동에너지를 합하면 된다. 아래쪽을 수직 원점으로 잡으면 속도는 $v(y) = v+ v\frac{y}{L} ~(0\le y \le L)$로 변한다. 따라서 

$$K = \int_0^L \frac{1}{2} v(y)^2dm= \int_0^L \frac{1}{2} v^2(1+y/L)^2 \frac{m}{L} dy=\frac{7}{6} mv^2 $$

또는 막대는 아래 끝에서 $L$ 떨어진 지점을 기준으로 순간적으로 회전을 한다. 그 지점에 대한 회전관성은 $I_{AOIR} = \frac{1}{12}mL^2+ m(L+L/2)^2=\frac{7}{3}mL^2$이고, 각속도는 $\omega = v/L$이므로

$$ K = \frac{1}{2} I_{AOIR}\omega^2 =\frac{7}{6}mv^2$$