지구의 반쪽끼리 서로 당기는 중력의 세기는?

지구를 정확히 반으로 갈랐을 때 반쪽끼리 서로 당기는 중력의 세기는?

1. $\frac{G{M}^2}{16R^2}$

2. $\frac{G{M}^2}{8R^2}$

3. $\frac{3G{M}^2}{16R^2}$

4. $\frac{G{M}^2}{4R^2}$

 

 

 

지구 내부에서 중력장은 $\overrightarrow{g}=-\frac{GM}{R^3}\overrightarrow{r}$임은 쉽게 알 수 있다. 이 중력장이 오른쪽 절반에 작용하는 힘을 구하면 (쉽게 입자들의 모임으로 생각하자)

$${\overrightarrow{F}}_{\text{right}}=\sum _{\text{right}}{m}_{i}g({\overrightarrow{r}}_i)=-\frac{GM}{R^3}\sum _{\text{right}}{m}_i{\overrightarrow{r}}_i$$

$\sum _{\text{right}}{m}_i{\overrightarrow{r}}_i$는 오른쪽 반구의 질량중심과 질량으로 표현이 가능한데, 그 결과(https://kipl.tistory.com/407)는 $\frac{M}{2}\frac{3}{8}R\hat{i}=\frac{3}{16}MR\hat{i}$ 이다($x$ 축=수평). 따라서 

$${\overrightarrow{F}}_{\text{right}}=-\frac{3}{16}\frac{G{M}^2}{R^2}\hat{i}$$이고, 이 힘은 왼쪽 절반이 오른쪽에 작용하는 중력과 오른쪽 절반이 오른쪽 절반에게 주는 중력의 합이다. 그런데 오른쪽 절반이 만드는 중력장에 의해서 오른쪽 절반이 받는 힘은 항상 작용-반작용의 짝을 가지므로 전체를 합하면 0이 된다. 즉, ${\overrightarrow{F}}_{\text{right}}$는 왼쪽 절반이 오른쪽 절반에게 주는 중력만 기여한다.