어디에 도착하는가?

흐르는 물의 속력이 $v$인 폭 $L$인 강이 있다. 같은 속력 $v$로 움직일 수 있는 배를 이용해서 강을 건너려고 한다. 배가 움직이는 동안 배의 방향이 항상 출발 지점의 정확히 맞은 편($\mathbf{B}$)을 향하도록 만든다. 배가 실제로 도착한 지점은?

1. A

2. B

3. C

4. 정보부족

 

B지점에서 잰 배까지의 거리를 $r$ 수평과 이루는 각을 $\theta$라 하자. B지점에서 보았을 때 배가 실제로 움직이는 속도는 흐르는 물의 속도는 더한 속도로 움직이므로,

$$\frac{dr}{dt}=-v_{boat}+v_{river}\cos \theta =-v(1-\cos \theta ).(r(0)=L)$$

그리고 각속도는 맞은편에 접근할 수록 각이 줄어들므로,

$$\frac{d\theta }{dt}=-\frac{v_{river}\sin \theta }{r}=-\frac{v\sin \theta }{r},(\theta :\frac{\pi }{2}\to 0)$$

두 식에서

$$\frac{dr}{d\theta }=r\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$$

이므로 적분하면 $(r(t=0)=L,\theta (t=0)=\pi /2)$,

$$r=\frac{L}{2}{\sec }^2(\theta /2)$$

이 곡선은 B를 초점으로 하고 B에서 오른쪽으로 $L$ 떨어진 AB에 평행인 직선을 준선으로 하는 포물선임을 쉽게 알 수 있다.