적도에서 출발한 미사일이 북극에 도달하려면?

적도에서 발사한 미사일이 북극에 도달하기 위한 최소 속력은? 이 속력은 지구 탈출 속력 $v_e=\sqrt{GM/R}$보다는 작아야 할 것이다. 지구 자전은 고려하지 않는다.

1. $\sqrt{2\sqrt{2}-2}{v}_e\approx 0.91v_e$

2. $\sqrt{\sqrt{2}-1}{v}_e\approx 0.64v_e$ 

3. $\frac{1}{2}{v}_e$

4. $(\sqrt{2}-1)v_e\approx 0.41v_e$

 

케플러 1법칙에 의해서 미사일은 지구 중심을 한 초점으로 하는 타원궤도를 움직인다. 타원궤도 운동을 하는 물체의 역학적 에너지는 타원의 장반경이 작을수록 낮아진다: $E_{ellipse}=-\frac{GMm}{2a}$. 발사지점과 북극이 타원 위에 있다는 사실을 사용하자. 타원의 성질에 의해서 1 초점인 지구 중심에서 북극(또는 발사지점)까지 거리와 북극(또는 발사지점)에서 2 초점까지 거리 합이 장반경의 2배이다. 중심에서 북극/발사지점까지 거리는 지구 반지름으로 고정되어 있으므로 장반경을 줄이기 위해서는 북극/발사지점에서 2초점까지 거리가 최소가 되어야 한다. 기하학적으로 2 초점이 북극과 발사지점을 연결하는 중간(위도 45상)에 있으면 된다. 이 경우 장반경은 $2a=R+R\cos ({45}^{\circ })=R(1+1/\sqrt{2})$로 주어진다. 따라서 역학적 에너지 보존을 쓰면 최소 속력을 구할 수 있다:

$$\frac{1}{2}m{v}_{min}^2-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{R(1+1/\sqrt{2})}.$$

노란선: 지구표면, 파란선: 타원궤도, 붉은 점=초점

 

foci = {{0, 0}, {1/2, 1/2}};
a = (Sqrt[2] + 1)/(2 Sqrt[2]);
{{x1, y1}, {x2, y2}} = foci;
d = EuclideanDistance @@ foci;
ParametricPlot[{{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2} + {a/d (x2 - x1) Cos[t] + 
     Sqrt[a^2/d^2 - 1/4] (y1 - y2) Sin[t],  a/d (y2 - y1) Cos[t] + 
     Sqrt[a^2/d^2 - 1/4] (x2 - x1) Sin[t]}, {Cos[t], Sin[t]}}, 
     {t, 0, 2 Pi}, Epilog -> {RGBColor[1, 0, 0], Point[foci]}]