막대가 회전하는 원판과 같이 돌기 위한 각속도는?

길이  $L$인 막대가 일정한 각속도 $\omega$로 회전하는 원판에 비스듬히 서서 같이 돌게 하려고 한다. 질량중심을 기준으로 볼 때 넘어지지 않으려면 마찰력에 의한 토크와 수직항력에 의한 토크가 균형을 맞추어야 한다. 마찰력이 질량중심의 원운동의 구심력 역할을 하는데, 회전각속도가 너무 빠르면 마찰력이 지탱하지 못해서 뒤로 밀리면서 쓰러지고 반대로 너무 회전이 느리면 마찰력이 작아지고, 수직항력에 의한 토크를 상쇄시키지 못해 원판으로 쓰러지게 된다. 막대가 쓰러지지 않고 원판과 같이 돌기 위한 회전각속도는 얼마쯤일까? 그런데 이런 상태가 가능하기는 할까?

막대가 원판과 같이 회전하는 경우 막대에 작용하는 힘은 중력, 수직항력, 그리고 원판과 접촉점에서 정지마찰력(회전축 향하는 방향)이다. 막대 질량중심이 일정한 높이에서 반지름 $r=\frac{L}{2}\cos \theta$인 원운동을 하므로

$$\sum F_y=N-mg=0$$

$$\sum F_c=f=m\frac{L}{2}\cos \theta {\omega }^2$$

원판 중심축과 만나는 막대끝을 원점으로 선택하여 막대의 각운동량($\overrightarrow{J}$) 크기를 구하면(방향은 회전축과 막대가 놓인 평면에서 막대에 수직하게 나가는 방향($\overrightarrow{J}=m\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}$, 막대의 주축방향과 회전방향이 다르므로 각운동량을 이용한 운동방정식을 사용한다)

$$J={\int }_0^L\frac{m}{L}dr(r)(r\cos \theta \omega )=\frac{1}{3}m{L}^2\omega \cos \theta$$ 

중력과 수직항력 그리고 마찰력에 의한 토크가 항상 각운동량 벡터에 수직이므로 각운동량의 크기는 변하지 않고 방향만 변한다. 따라서 $\overrightarrow{J}$은 회전축 방향 성분($J_{||}=J\cos \theta$)과 수직인 성분($J_{\mathrm{\perp }}=J\sin \theta$)으로 분해하면 수직성분의 방향만 계속 변한다.

$$\frac{d{J}_{\mathrm{\perp }}}{dt}=J_{\mathrm{\perp }}\omega =J\sin \theta \omega =\frac{1}{3}m{L}^2{\omega }^2\cos \theta \sin \theta$$

그리고 외력에 의한 토크는

$$\sum \tau =mg\frac{L}{2}\cos \theta -NL\cos \theta +fL\sin \theta$$

$$=-mg\frac{L}{2}\cos \theta +m\frac{L^2}{2}{\omega }^2\cos \theta \sin \theta =\frac{dJ}{dt}=\frac{d{J}_{\mathrm{\perp }}}{dt}$$

따라서,

$$\omega =\sqrt{\frac{3g}{L\sin \theta }}$$

$\theta \to 0$이면 마찰력의 모멘트팔이 짧아지므로 수직항력이 만드는 토크와 균형을 마추려면 매우 빠르게 회전을 해야 한다. $\theta \to \frac{\pi }{2}$인 경우는 원판이 회전을 하던 안하던 막대가 서 있을 수 있으므로 이 경우는 별도로 취급해 주어야 한다.