막대의 최대로 기울어진 각은?

줄에 걸려 길이 $L$인 막대가 줄을 따라 마찰없이 움직일 수 있다. 막대에 충격을 주어 줄에 걸린 부분이 $v_0$의 속도로 운동을 하게 만들었다(막대 아래는 순간적으로 정지상태다). 막대가 연직방향에 대해서 얼마나 기울어질 수 있는가?

풀이:

1. 처음 막대는 앞으로 진행하면서 시계방향으로 회전을 하는 운동을 한다. 최대로 기울어진 순간 막대는 회전을 멈추고 모든 부분이 같은 속도($v$)로 병진운동을 할 것이다. 수평방향 외력이 없으므로 운동량의 수평성분이 보존된다:

$$ m \frac{v_0}{2} = m v~~\to ~~v = \frac{v_0}{2}$$

2. 에너지 보존을 사용하면, 처음에는 막대는 아래쪽 끝을 기준으로 회전운동을 하므로

$$ \frac{1}{2} \frac{1}{3} mL^2 \left( \frac{v_0}{L}\right)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + mg \frac{L}{2}(1-\cos \theta)$$

$$\to ~~ \cos \theta = 1-\frac{v_0^2}{12gL}$$

에너지 보존을 고려하면 $v_0^2 = 12gL$은 막대가 완전히 수평이 되는 속도인데, 이때는 막대의 인장력이 무한대가 되는 상황(중력때문에)이므로 $ v_0^2 < 12 gL$이어야 한다.