바닥에서 막대가 받는 수직항력은?

길이가 $\sqrt{2}R$인 막대(질량: $m$)가 반지름 $R$인 매끄러운 구 속에 그림과 같은 위치에 있다가 운동을 시작한다. 운동을 시작한 직후 아래쪽에서 막대에 작용하는 수직항력은? 

풀이: 

질량중심의 운동을 보자. 질량중심의 구의 중심에 대해서 회전운동을 한다. 막대에 작용하는 외력은 중력 $-mg\hat{y}$와 바닥에서 수직항력 $N_L\hat{y}$, 꼭대에서 수직항력 $-N_R\hat{x}$이 있다. 회전운동의 각가속도를 $\alpha$라 하면 질량중심의 가속도 크기는 $\vec{a}=-\frac{\alpha R}{2}(\hat{x}+\hat{y})$이다. 질량중심의 수직방향 운동방정식을 쓰면

$$ \sum F_y = N_L - mg  = m(-\frac{\alpha R}{2}) ~\to ~ N_L = m(g - \alpha R/2)$$

구의 중심에 대한 회전운동 방정식을 쓰면

$$ \sum \tau_c = mg \frac{R}{2} = \left( \frac{1}{12} m (\sqrt{2}R)^2 + m (R/\sqrt{2})^2 \right) \alpha ~\to ~\alpha R =  \frac{3}{4} g$$

이므로

$$ N_L = \frac{5}{8} mg$$