바닥에서 막대가 받는 수직항력은?

길이가 $\sqrt{2}R$인 막대(질량: $m$)가 반지름 $R$인 매끄러운 구 속에 그림과 같은 위치에 있다가 운동을 시작한다. 운동을 시작한 직후 아래쪽에서 막대에 작용하는 수직항력은? 

풀이: 

질량중심의 운동을 보자. 질량중심의 구의 중심에 대해서 회전운동을 한다. 막대에 작용하는 외력은 중력 $-mg\hat{y}$와 바닥에서 수직항력 $N_L\hat{y}$, 꼭대에서 수직항력 $-N_R\hat{x}$이 있다. 회전운동의 각가속도를 $\alpha$라 하면 질량중심의 가속도 크기는 $\overrightarrow{a}=-\frac{\alpha R}{2}(\hat{x}+\hat{y})$이다. 질량중심의 수직방향 운동방정식을 쓰면

$$\sum F_y=N_L-mg=m(-\frac{\alpha R}{2})\to N_L=m(g-\alpha R/2)$$

구의 중심에 대한 회전운동 방정식을 쓰면

$$\sum {\tau }_c=mg\frac{R}{2}=(\frac{1}{12}m(\sqrt{2}R{)}^2+m(R/\sqrt{2}{)}^2)\alpha \to \alpha R=\frac{3}{4}g$$

이므로

$$N_L=\frac{5}{8}mg$$