줄이 팽팽해진 직후 상자의 속도는?

느슨한 줄에 연결된 한 변의 길이가 $a$인 정사각형이 아래로 떨어지고 있다. 상자의 떨어지는 속력이 $v_0$가 되었을 때 줄이 팽팽해지면서 수평과 45도 각을 이룬다. 줄이 팽팽해진 직후 정사각형의 회전각속도와 질량중심이 움직이는 속도는?

풀이: 줄이 팽팽해진 직후 질량중심이 움직이는 속도 성분을 $v_x$, $v_y$, 회전각속도를 $\omega$라 하자. 줄에 수직인 방향($x$)으로 작용하는 impulse가 없으므로 $x$-방향 운동량이 보존된다. 

$$ x\text {-운동량 보존:}\quad mv_0 \cos(45) = mv_x \qquad \to \qquad  v_x = \frac {v_0}{\sqrt {2}}$$

그리고 줄의 장력이 P점에 작용하므로, P점에 대한 각운동량도 보존된다(반시계방향+). 정사각형의 질량중심축에 대한 회전관성이 $I_\text{cm}= \frac {1}{6} ma^2$임을 사용하면

$$\text{각운동량 보존:}\quad  mv_0 \frac {a}{\sqrt {2}} = I_\text{cm } \omega + mv_x \frac {a}{2} - m v_y\frac {a}{2}$$

$$\to\qquad \frac {v_0}{\sqrt {2}} = \frac {1}{6} a\omega+\frac {1}{2}( v_x - v_y)$$

줄이 늘어나지 않으므로 P점의 줄방향 속도성분이 0이어야 하므로

$$ \text{줄 안늘어남:}\quad 0= v_{P,y} = v_y + \omega\frac {a}{\sqrt {2}} \cos (45)\qquad \to \qquad v_y = -\frac{a}{2} \omega$$

이제, $v_x, v_y$를 각운동량 보존식에 대입하면

$$ \omega = \frac {3 \sqrt {2}}{5} \frac {v_0}{a}$$ 그리고

$$ v_x = \frac {v_0}{\sqrt {2}},\qquad v_y = - \frac {3\sqrt {2}}{10 } v_0$$

을 얻는다.