최고점의 높이는?

지구반지름이 $R$일 때, 반지름 $R$인 원궤도 운동을 하는 물체의 속력은 $v = \sqrt {gR}$이다. 이 속력으로 지면에 대해서 각도 $\theta$로 발사된 물체는 어느 높이까지 올라갈 수 있을까?

풀이: 물체의 역학적 에너지는 

$$ E = \frac{1}{2} mv^2 -\frac{GMm}{R}$$이고 각운동량은 

$$ J = mvR \cos\theta$$이다. 발사된 물체의 유효퍼텐셜이 

$$U(r) = \frac{J^2}{2mr^2 }- \frac{GMm}{r}$$이므로 $E=U(r)$인 $r$을 구하면 된다. 즉,

$$ \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{mv^2 R^2 \cos^2 \theta}{2r^2} - \frac{GMm}{r}$$

$v= \sqrt{gR}=\sqrt{GM/R}$임을 이용해서 정리하면

$$ r^2 -2Rr + R^2 \cos^2 \theta = 0\qquad\to \qquad r= R(1 + \sin\theta)$$

수직으로 발사하면 중심에서 $2R$까지 도달할 수 있고, 수평발사는 반지름 $R$인 원궤도를 돌게 된다.  

 

이는 타원궤도가 역학적 에너지와 각운동량에 의해서만 결정되고, 발사각도에 무관하게 역학적 에너지는 동일하므로 타원궤도의 장축의 길이는 $2R$이므로 기하학적 관계를 이용하면 쉽게 구할 수도 있다.