Geometry & Recognition

두 개의 바퀴를 연결하는 벨트로 구성된 무한궤도가 있다. 이 무한궤도가 미끄러짐이 없이 일정한 속도 $v$로 움직일 때 운동에너지는? 단, 바퀴의 반지름은 $R$. 질량은 $M$, 그리고 벨트의 길이는 $L$, 질량은 $m$이다.

힌트: 두 바퀴는 rolling 하므로 운동에너지는(바퀴를 원판으로 단순화시키면) 

$$K_{wheel}=2\times (\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2)=\frac{3}{2}M{v}^2$$

벨트에 대해서는 앞-뒤 바퀴에서 절반 감긴 부분은 바퀴와 동일하게 회전하면 앞으로 전진하므로 hoop의 rolling과 같다. 벨트 중 바퀴에 감기지 않는 위쪽 부분(길이= $(L-2\pi R)/2$)은 $2v$, 아래쪽 부분(길이=$(L-2\pi R)/2$)은 정지한 상태이다. 벨트의 단위길이당 선밀도를 $\mu$, 전체 길이를 $L$이라 하면 

$$K_{belt}=(2\pi R\mu )v^2+\frac{1}{2}\mu \frac{L-2\pi R}{2}(2v{)}^2=\mu L{v}^2=m{v}^2$$이다. 따라서 전체 운동에너지는

$$K=(\frac{3}{2}M+m)v^2$$

바퀴에 감긴 벨트의 운동에너지를 좀 더 엄밀하게 분석하자. 뒤 쪽 바퀴에 감긴 벨트는 바닥에서 떨어지면서 속도를 얻고 꼭대기에서는 바퀴에서 벗어나면서 $2v$의 일정한 속도를 가진다. 앞쪽 바뀌는 반대의 행동을 한다. 바퀴의 각 위치에서 벨트의 속도는 달라지는데(구름운동의 특징), 바퀴를 미소 부분으로 나눈 후 각 부분의 운동에너지를 더해서 그 결과가 hoop의 구름운동 운동에너지와 같음을 보이자. 바닥에서 $\theta$ 각 만큼 벌어진 부분의 미소질량은 $dm=\mu Rd\theta$이고 속도는 병진운동에 의한 수평성분$(v)$과 중심에 대한 회전운동이 만드는 접선속도($R\omega =v$)를 가지는데 이 두 벡터의 방향을 고려하면 합벡터의 크기는 $2v\sin (\theta /2)$이다. 따라서 바퀴에 감긴 부분의 운동에너지 기여는 

$$K_{belt,wound}=2\times {\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}{(2v\sin \frac{\theta }{2})}^2\mu Rd\theta =2\pi R\mu v^2$$

이어서 hoop의 rolling 운동에너지와 같음을 확인할 수 있다.

동일한 디스크 두 개의 중심이 가벼운 막대로 연결되어 있고, 앞 디스크는 처음 각속도 ${\omega }_0$로 시계방향 회전을 한다. 이 두 디스크를 바닥에 놓았을 때 앞바퀴와 달리 뒷바퀴에 작용하는 마찰이 충분히 커서 미끄러지지 않고 구르는 운동을 한다. 두 디스크는 처음 질량중심이 오른쪽 가속도를 가지지만 A의 각속도는 감소를 한다. 

1. A에 작용하는 운동마찰력의 방향은 오른쪽: $f_k=\mu mg$
2. B에 작용하는 정지마찰력($f$) 방향은 왼쪽
3. B의 cm에 대한 회전운동(막대의 장력은 토크 기여가 없음): 정지마찰력만 토크에 기여  $$fR=\frac{1}{2}m{R}^2\frac{a}{R}\to f=\frac{m}{2}a$$
4. 계의 수평방향 cm 병진운동(수평방향 외력=마찰력)  $$f_k-f=(m+m)a\to a=\frac{2}{5}\mu g$$
5. 따라서 B에 작용하는 정지마찰력: $f=\frac{1}{5}\mu mg$
6. 바닥의 임의의 한 지점에 대한 각운동량 보존됨을 이용하면(바닥에서 작용하는 수평방향 마찰력은 토크를 만들지 못함) 최종적으로 두 바퀴가 공통으로 회전하는 각속도를 구할 수 있다. $$L_i=L_{A,i}=\frac{m{R}^2}{2}{\omega }_0$$ 같은 각속도로 구르기 시작할 때, 두 바퀴의 질량중심운동과 질량중심축에 대한 회전운동이 각운동량에 기여하므로 $$L_f=\frac{3}{2}m{R}^2\omega \times 2$$ $$\to \omega =\frac{1}{6}{\omega }_0$$

무거운 줄이 도르래에 걸쳐있고, 한쪽 끝에는 사람이 매달려 있다. 사람이 갑자기 줄에 대한 상대속도 $v_{rel}$로 위쪽으로 올라간다. 이때 사람의 지상에 대한 속도는? 줄의 길이는 $L$, 단위길이당 밀도는 $\lambda$, 그리고 사람의 질량은 $M$이다. 

사람이 올라가기 위해서는 줄에 힘(충격량=$J$)을 주어야 하고, 이 힘의 반작용으로 위로 올라간다. 사람이 준 힘 때문에 줄은 아래로 움직이게 된다. 

사람의 운동량 변화(위쪽 =+) $Mv-0=J$

줄의 운동량 변화(아래쪽=+) $(\lambda L)u-0=J$

따라서 $Mv=\lambda Lu$이고, $v_{rel}=v-(-u)=v+u$이므로 

$$v=\frac{\lambda L}{M+\lambda L}{v}_{rel}$$

Q2: 사람이 올라가기 시작하면 사람쪽 줄의 무게가 더 크므로 더 빨리 내려가려고 할 것이다. 따라서 일정한 시간이 지나면 지상에서 볼 때 사람은 더 이상 위로 올라가지 못하게 된다. 그때가 언제인가?

이를 해결하기 위해 사람과 줄의 운동방정식을 만들자. 바닥에서 잰 사람의 높이를 $y$(위쪽+), 도르래에서 잰 왼쪽 줄의 끝을 $y_1$(아래+), 오른쪽 줄의 끝을 $y_2$(아래+)라면, $y_1+y_2=L=const$이다. 그리고 사람이 줄로 부터 받는 힘을 $f(t)$라면 사람의 운동방정식은 

$$M{y}^{″}(t)=f(t)-Mg$$

그리고 줄의 운동은(아래쪽+, 줄의 총질량 $m=\lambda L$)

$$m{y}_1^{″}(t)=\lambda (y_1(t)-y_2(t))g+f(t)=2\lambda g{y}_1(t)-mg+f(t)$$

상대속도가 일정하므로 $y(t)$와 $y_1(t)$사이의 관계를 만들 수 있다. $$v_{rel}=y^{\prime }(t)+y_1^{\prime }(t)=const$$$$\to y_1^{″}(t)=-y^{″}(t)$$$$\text{and}y(t)+y_1(t)=v_{rel}t+C$$

상수 $C$는 줄과 사람이 처음 평형상태였음을 이용하면 $\lambda y_2(0)g=\lambda y_1(0)g+Mg$ 에서 

$$y_1(0)=\frac{m-M}{2\lambda }$$ 또 사람의 출발높이가 $y(0)=0$이므로 

$$C=y_1(0)=\frac{m-M}{2\lambda }$$

이제 앞에서 얻은 방정식을 이용해서 $y(t)$의 운동방정식에서 $f(t)$을 소거하면

$$\frac{m+M}{2\lambda g}{y}^{″}(t)-y(t)=-v_{rel}t$$

이 방정식의 일반해는 

$$y(t)=A\cosh (\alpha t)+B\sinh (\alpha t)+v_{rel}t,{\alpha }^2=\frac{2\lambda g}{m+M}$$

인데, $t=0$일 때 $y(0)=0$이므로 $A=0$이고, $y^{\prime }(0)=\frac{m}{m+M}{v}_{rel}$ 였으므로 $B=-\frac{1}{\alpha }\frac{M}{m+M}{v}_{rel}$. 따라서 사람의 높이는 

$$y(t)=v_{rel}(t-\frac{1}{\alpha }\frac{M}{m+M}\sinh (\alpha t))$$

사람이 더 이상 높이 올라갈 수 없는 상태가 되면 속도 $y^{\prime }(t)=0$이어야 한다. 출발에서 그때까지 걸린 시간은

 $$y^{\prime }(t)=v_{rel}(1-\frac{M}{m+M}\cosh (\alpha t))=0$$

$$\to t=\sqrt{\frac{m+M}{2\lambda g}}{\cosh }^{-1}\frac{m+M}{m}$$