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용기 바닥에 작용하는 수압은? 저울의 눈금은?

Physics/유체역학 2016. 1. 19. 18:04

[Q1] 바닥 면적이 같지만 모양이 다른 두 용기에 같은 양의 물을 채워 넣었다. 비어있는 두 용기의 무게는 같다. 바닥이 받는 수압이 더 큰 쪽은?

깊이에 따른 수압은 $P = P 0 + ρ g h <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo>=</mo><msub><mi>P</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>ρ</mi><mi>g</mi><mi>h</mi></math>$ 이므로, 수면으로부터 더 깊은 바닥(A)에 더 큰 수압이 작용한다. 그런데 바닥의 면적이 같다고 했으므로 수압이 용기 바닥에 주는 힘은 A가 더 커야 한다.

[Q2] 이제 두 용기를 저울에 올려보자. 저울 눈금이 더 크게 나오는 것은? 수압이 바닥에 주는 힘은 A가 더 큰 데, 용기+물의 무게는 두 경우 모두 같다. 눈금이 더 큰 쪽은 A일까? 아니면 B? 그도 아니면 같을까?

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모래가 섞인 얼음이 녹을 때 수면의 높이는?

Physics/유체역학 2016. 1. 19. 12:13

모래가 섞인 얼음을 물이 담긴 컵에 넣었더니 물에 뜬다. 얼음이 다 녹으면 수면의 높이는 어떻게 될까?

1. 올라간다.

2. 변함없다.

3. 내려간다.

4. 모래의 양에 따라 다르다.

설명보기

얼음이 뜨는 이유는 부력 때문이다. 부력의 크기는 얼음의 무게와 같고, 또 얼음의 잠긴 부분이 밀어낸 물의 무게와 같다. 불순물이 없는 얼음의 경우 다 녹으면 물이 되고 이 물의 무게(=얼음의 무게)는 잠긴 부분이 밀어낸 물의 무게와 같으므로 수면은 변화가 없다. (얼음이 녹아 생긴 물의 양은 원래 잠긴 부분을 채울 만큼이다)

모래가 섞인 얼음에서 얼음 부피를 $V i c e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub></math>$ , 모래 전체의 부피를 $V s a n d <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math>$ 라면

$부 력 모 래 얼 음 부 피 잠 김 부력=모래 얼음 부피 \to ρ w g V 잠김 = ρ i c e g V i c e + ρ s a n d g V s a n d <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtext>부력=모래 얼음 부피</mtext><mo stretchy="false">\to</mo><msub><mi>ρ</mi><mi>w</mi></msub><mi>g</mi><msub><mi>V</mi><mtext>잠김</mtext></msub><mo>=</mo><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mi>g</mi><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mi>g</mi><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math>$ $잠김∴V잠김=ρiceρwVice+ρsandρwVsand<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo>∴</mo><msub><mi>V</mi><mtext>잠김</mtext></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>w</mi></mrow></msub></mfrac><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>w</mi></mrow></msub></mfrac><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math>$

여기서, $ρiceρwVice<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>w</mi></mrow></msub></mfrac><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub></math>$ 는 순수한 얼음이 밀어낸 물의 부피로, 앞에서 설명한 대로 수면의 높이를 변화시키지 않는다. 그러나 $ρsandρwVsand(>Vsand)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>w</mi></mrow></msub></mfrac><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mo>></mo><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 는 모래(전체)를 띄우기 위해서 밀려난 물 부피이다. 얼음이 녹아 모래가 가라앉으면 $V s a n d <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math>$ 만큼의 물이 밀려나므로 수면은 내려가게 된다:

$잠김V잠김>ρiceρwVice+Vsand<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>V</mi><mtext>잠김</mtext></msub><mo>></mo><mfrac><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><msub><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>w</mi></mrow></msub></mfrac><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msub></math>$

이는 배에 실린 돌을 물에 던지면 수면이 내려가는 이치와 같다.

돌을 띄우는 부력을 만들기 위해 밀어낸 물의 양은 돌이 가라앉았을 때 밀어낸 물의 양보다 많다.

Q1. 기포가 섞인 얼음이 녹으면 수면은 어떻게 될까?(기포의 무게는 무시할 수 있다).

Q2. 배에 실린 가벼운 스티로폼을 물에 던지면 수면은 어떻게 될까?

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