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버스가 갑자기 가속을 하면 서 있는 사람은 넘어질 수 있다. 어느 정도의 가속도에서 넘어질까? 넘어지는 기준은 가속도 방향의 발이 바닥에서 떨어질 조건과 같다. (물론 실제 상황에서는 몸을 다시 움직여서 안 넘어지려는 시도를 할 수 있지만, 여기서는 사람을 딱딱한 강체로 근사한다. 또한 미끄러짐은 생각하지 않는다)

 

 

사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심이 바닥에 $h$ 높이에 있다)와 양발에 작용하는 수직항력(두 발의 간격 = $d$)과 차와 같이 움직이게 하는데 필요한 마찰력이 있다. (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다) 사람의 자유물체도는 아래와 같다:

 

미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동 방정식과 질량중심에 대한 회전 운동 방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 $f_1$, $f_2$, $N_2$는 반시계 방향으로 회전시키려하고 $N_1$은 시계 방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)

 

미지수는 $f_1$, $f_2$, $N_1$, $N_2$로 4개인데 식은 3개여서 미지수가 완전히 결정이 안되지만 수직항력은 구할 수 있다.

 

넘어지지 않기 위해서는 양발에 걸리는 수직항력이 0 보다 커야 한다. $N_1$은 항상 양수이므로 $N_2 \ge 0$ 조건에서 넘어지지 않을 최대 가속도는 

 

.

사람의 질량중심이 낮을수록($h$), 두 발을 넓게 벌릴수록($d$) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

$h=100cm, d=50cm$ -> $a =2.45 m^2/s$: 100미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도

 

 

 

 

 

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일정한 속도$(u)$로 달리는 기차 안에 있는 높이 $h$인 경사면이 있다. 경사면의 꼭대기에서 내려오는 물체가 바닥에 도착하기 직전 기차 안의 정지한 관찰자가 보는 속력$(v)$과 지상의 정지한 관찰자가 보는 속력 $w$를 비교해 보자.

 

1. 기차 안의 정지 관찰자;

2. 지상의 정지한 관찰자: 처음 물체는 $h$ 높이에서 오른쪽으로 $u$의 속력으로 움직이고 있다가 바닥에 도착하기 직전에는 $w$의 속력으로 가진다. 역학적 에너지 보존을 쓰면

3. 그런데 두 관찰자가 보는 물체의 속도가

(지상에서 볼 때는 기차 안에서 물체의 속도에 기차 속도가 벡터적으로 더해진다)로 연결되므로 이 식을 이용해서 $w$를 구하면

이므로 앞의 결과와 다르다.

 

학적 에너지 보존법칙은 관찰자에 따라 달라지는가? (그럴 수는 없다) 무엇을 간과하고 있을까? 또, 어느 식이 옳은 식인가? 잘 생각해보면 이유를 알 수 있다.

 

 

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사슬(길이=$L$, 질량=$M$)이 수직으로 바닥으로 떨어질 때 바닥이 받는 힘은?

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력$( f)$에 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2, ~~m(t)=\lambda (L- y(t))= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \sum F_y = m(t) g - f(t) = \frac{dp}{dt}= \frac{d(m(t) v(t) )}{dt} = \frac{dm(t)}{dt} v(t) + m(t) \frac{dv(t)}{dt}.$$

그런데, 떨어지는 부분은 자유낙하하므로

$$v(t)=gt, ~~\frac{dm(t)}{dt}=-\lambda g t$$

을 만족한다. 따라서 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ m(t)g - f(t) = -\lambda g^2 t^2 +  m(t) g\quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

 

 

보다 직관적으로는 사슬의 끝부분이 바닥에 닿는 순간 운동량이 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.

 

참고 영상: https://www.youtube.com/watch?v=hoU_9DGMfzs

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마찰이 없는 바닥에 놓인 경사면(질량: $M$)을 따라 물체(질량: $m$)가 내려온다. 경사면에서 마찰도 없다면 물체가 받는 힘은 중력과 수직항력뿐이다. 이 수직항력의 반작용 때문에 경사면은 밀려나게 된다. 수평방향을 $x$-축, 수직방향을 $y$-축으로 잡고 FBD을 이용해서 물체와 경사면의 운동방정식을 쓰면, 경사면을 내려오는 물체의 가속도는

$$\sum F_x = N \sin \theta \ m\ddot{x}_1 \\ \sum F_y = N \cos \theta -mg = m \ddot{y}_1.$$

경사면은 수평방향 운동만 가능하므로 수평가속도는

$$\sum F_x = - N \sin \theta = M\ddot{x}_2.$$

물체가 경사면에서만 움직이므로 $x_1$, $y_1$, $x_2$가 완전히 독립적일 수 없다:

$$\tan \theta = \frac{y_1}{x_2-x_1} =\text{const}\quad \longrightarrow \ddot{y}_1 = (\ddot{x}_2-\ddot{x}_1) \tan \theta.$$

수직항력 $N$, 물체의 수평/수직 가속도 $\ddot{x}_1$, $\ddot{y}_1$, 그리고 경사면의 수평 가속도 $\ddot{x}_2$에 대한 4개의 식이 주어졌다. 이것을 풀면(연립방정식이므로 쉽다).

$$N = mg \frac{\cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta },$$

$$\ddot{x}_1 = g\frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta},$$

$$\ddot{y}_1 = - g \frac{ \Big(1+ \frac{m}{M}\Big) \sin ^2 \theta }{1 + \frac{m}{M} \sin ^2 \theta},$$ $$ \ddot{x}_2  = -g \frac{\frac{m}{M}\sin \theta\cos \theta}{1+\frac{m}{M} \sin ^2 \theta}$$

얻는다. 수평방향이나 수직방향 운동 모두 등가속도이다.

$M \gg m$인 경우를 보면, 경사면이 고정되어 있을 때 수직항력과 같음을 알 수 있다: $N\rightarrow mg\cos \theta$.

어려운 설명을 볼 수 있는 동영상:

youtu.be/xzKPlY4Dnrw

Posted by helloktk

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  1. hgmhc 2020.10.05 13:28 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    "이것들을 풀면"이 원래 어려운게 맞죠..?