추의 속력은?

Physics 2020. 11. 20. 09:58
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높은 천정에 고정된 5 미터 줄의 반대편 끝에 추를 매달고 그림과 같은 위치에서 낙하시킨다. 줄이 팽팽해지는 직후 추의 속력은(m/s)?

1. $\sqrt {8g}$

2. $\sqrt {10g}$

3. $\frac {3}{5}\sqrt {8g}$

4. $\frac {3}{5}\sqrt {10g}$

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수직 아래로 4m를 내려오는 동안 추는 자유낙하를 한다. 이때 속도는 아래 방향이고 크기는 $v=\sqrt {2g\times 4}=\sqrt {8g}$다. 줄이 팽팽해지면 줄 방향으로는 순간적으로 충격력이 주어지고, 이 때문에 줄 방향 성분은 0이 된다. 줄에 수직인 방향 성분은 충격력이 없으므로 그대로 남아서 $v_\bot=\frac {3}{5}\sqrt {8g}$

Q2: 줄이 팽팽해진 이후 추는 처음 높이까지 다시 올라갈 수 있을까?

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10명의 몸무게가 같은 사람이 지붕이 없는 정지한 열차에 타고 있다. 열차와 레일 사이의 마찰은 무시할 수 있다. 사람들은 열차 위에서 달리기를 하여 뒤쪽으로 뛰어내린다. 각 사람이 뛰어내리는 속도는 열차 위에서 볼 때 $u$로 일정하다.(열차에 대한 상대속도가 일정) 어떤 방식으로 뛰어내려야 열차의 최종 속도가 가장 빠를까?

1. 10명이 동시에 뛰어내린다.

2. 1명씩 차례로 뛰어내린다.

3. 차이 없다.

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풀이: 사람의 질량을 $m$, 열차의 질량을 $M$로 놓고, 한꺼번에 뛰어내리는 직 후 열차의 속도를 $V$라면, 사람의 속도는 $V-u$이다(지상 기준). 운동량이 보존되므로

$$ 0 = MV + Nm(V-u)\quad \rightarrow \quad V = \frac{Nm}{M+Nm}u$$. 

순차적으로 뛰어내리는 경우: 열차에 n명의 사람이 남아 있을 때 속도를 $V_n$이라면($V_N=0$), 한 명이 추가로 뛰어 내려면 열차의 속력은 $V_{n-1}$이고 되고(이때 사람의 속도는 $V_{n-1}-u$(지상 기준)), 이 과정에서 운동량 보존을 적용하면

$$ (M+ nm)V_n = (M + (n-1) m) V_{n-1} + m(V_{n-1}-u)$$

$$ \therefore V_{n-1}=V_n + \frac {m}{M+nm} u$$

따라서 0명이 남았을 때 속도 $V_0$는

$$V_0 = V_N + \frac{m}{M+Nm}u + \frac {m}{M+(N-1) m} u +\cdots+\frac{m}{M+m}u=\sum_{k=1}^{N} \frac{m}{M+ km}u$$

이어서 $V_0 >V$임을 알 수 있다. 

 

구체적인 계산없이 정성적으로 설명할 수 있는가?

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  1. hgmhc 2020.11.18 14:48 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    머리로 생각했을 때에는 1번일 것 같다는 느낌이 들었는데, 실제로 수식으로 증명해봐도 1번이 답으로 보입니다.
    맞나요????

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잡고 있던 질량 $m$인 물체를 놓아서 줄이 팽팽해진 직후 바닥에 놓인 질량 $2m$인 물체의 속도는 어떻게 될까?

1.  안 움직인다.

2.  $\frac {2}{3}\sqrt {gh}$

3.  $\frac {1}{3}\sqrt {gh}$

4. 정보가 부족하다.

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m이 가장 아래에 도달하기 직전 속력은 

.

줄은 팽팽해지는 순간 위쪽 방향으로 순간적인 힘(impulsive force)을 작용한다. 줄의 반대편 2m에도 같은 크기로 작용한다. m과 2m이 줄로부터 받는 충격량은 같다. 따라서 줄이 팽팽해진 후 속력을 u라면 (위쪽 방향+)

 

 

 

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  1. hgmhc 2020.10.05 12:48 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    고려할 대상이 이걸로 충분할 지 모르겠습니다만,
    역학적 에너지 보존을 이용하면 순간적인 속도 v를 구할 수 있지 않을까요..?
    m*g*2h = 1/2*3m*v^2가 되어서
    2mgh = (3/2)mv^2
    4gh = 3v^2
    v = ???
    아니네요!!
    오픈카 풀고 나니깐 생각이 바뀌었습니다.
    완전 비탄성 충돌의 관점으로 바라보는 것이 맞겠네요!
    v = √2*g*2h
    = 2√gh
    m*2√gh = 3m*x
    x = (2/3)√gh
    정답은 2번!

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사슬(길이=$L$, 질량=$M$)이 수직으로 바닥으로 떨어질 때 바닥이 받는 힘은?

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력$( f)$에 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2, ~~m(t)=\lambda (L- y(t))= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \sum F_y = m(t) g - f(t) = \frac{dp}{dt}= \frac{d(m(t) v(t) )}{dt} = \frac{dm(t)}{dt} v(t) + m(t) \frac{dv(t)}{dt}.$$

그런데, 떨어지는 부분은 자유낙하하므로

$$v(t)=gt, ~~\frac{dm(t)}{dt}=-\lambda g t$$

을 만족한다. 따라서 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ m(t)g - f(t) = -\lambda g^2 t^2 +  m(t) g\quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

 

 

보다 직관적으로는 사슬의 끝부분이 바닥에 닿는 순간 운동량이 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.

 

참고 영상: https://www.youtube.com/watch?v=hoU_9DGMfzs

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