Geometry & Recognition

미끄러지는 경우는 미는 힘(수평 성분)이 정지 마찰력의 최댓값$(f_\text{max})$보다 더 커야 한다.

$$f_\text{max} = \mu_s Mg \quad \rightarrow \quad F \ge \mu_s Mg.$$

미끄러지지 않고 넘어지는 경우는 오른쪽 아래를 회전축으로 넘어지는데, 넘어지기 직전에는 마찰력(수평)과 수직항력(수직)은 오른쪽 끝에 몰린다. 이 회전축을 기준으로 하면 냉장고 무게는 반시계 방향 토크를 만들고, 미는 힘은 시계방향을 토크를 만든다(마찰력과 수직항력은 이 회전축에 대해서는 모멘트 팔=0이어서 토크를 만들지 않는다). 미는 힘에 의한 토크가 중력이 만드는 토크보다 더 크면 넘어지게 된다.

$$ \sum\tau_R =Fd - Mg \frac{W}{2}\ge 0 \quad \rightarrow \quad F \ge \frac {W}{2d} Mg.$$

넘어지기 직전이 아닌 경우는 일반적으로 수직항력(따라서 마찰력)은 바닥 전체 면적에 퍼져서 작용한다. 그렇지만 왼쪽에서 밀면 오른쪽에 더 많이 수직항력이 걸릴 것이다. 이 수직항력이 한 지점에 평균적으로 작용한 것으로 생각할 수 있는데, 그 지점에서 오른쪽 모서리까지 거리를 $x$라면 넘어지기 전에는 $x\gt 0$이 될 것이다. 따라서 넘어지기 전 상황을 고려하면 평형이므로(이 경우엔 수직항력이 토크에 기여한다. 마찰력은 여전히 모멘트 팔=0이어서 기여 없다:어느 지점에 작용하는가를 물어볼 필요가 없다)

$$ \sum \tau_R = Fd -Mg\frac{W}{2} + Nx = 0$$

여기서 넘어지려면 $$x=\frac{ \frac {1}{2} MgW -Fd }{N}\le 0$$

이어서 위와 같은 결론을 얻는다.

막대에 작용하는 힘은 중력, 스티로폼으로부터 받는 힘, 그리고 장력이 있다. 스티로폼이 주는 힘은 물의 저항력을 무시하면 수직 방향의 힘 밖에 없다. 왜냐면 수평 방향의 힘을 막대에 주면 반작용으로 스티로폼도 수평 방향의 힘을 받는데 이것을 상쇄시켜 평형에 도달하게 만들 힘이 없기 때문이다(스티로폼이 바닥에 있다면 정지 마찰력이 이 역할을 한다). 따라서 중력과 수직향력은 수직 방향의 힘뿐이므로 만약 장력이 수평 성분을 가지면 이것을 상쇄시킬 힘이 없으므로 절대로 평형에 도달할 수 없게 된다. 그러므로 가능한 장력의 방향은 수직 방향밖에 없다. 따라서 막대에 작용하는 중력은 수직 방향의 장력과 수직항력에 의해서 상쇄된다.