Geometry & Recognition

접지된 매우 넓은 평행판 축전기 사이에 전기쌍극자를 놓았을 때 양쪽 극판에 유도되는 전하는?

힌트: $\vec {r}_0$에 위치한 전기쌍극자의 전하밀도가

$$ \rho(\vec {r}) = - \vec {p} \cdot \nabla \delta (\vec {r} - \vec {r}_0) $$

로 표현된다는 사실과 Green's reciprocity 정리를 이용하기 하자. 전하구성 1은 $-q $, $+q$의 전하밀도로 대전된 동일한 형태의 축전기가 있을 때 전위차가 $V_0$이면, 전위함수는 $$V_1 (x) = V_0 \frac {x}{d}~~~~0\le x \le d$$전하구성 1의 전하는 극판에 몰려있는데 우리가 구하려는 전하구성 2의 극판에서 전위는 접지로 인해 0이므로 

$$ \sum \int \rho_1 V_2 d^3x =  \int_\text {left_plane} \rho_1 V_2 d^2x + \int_\text {right plane} \rho_1 V_2 d^2x = 0  $$

그에 반해 전하구성 2의 전하는 양극판($\sigma_L$, $\sigma_R$)과 사이의 전기쌍극자($\vec{r}_0 = a\hat {x}$)가 있고, 전하구성 1의 극판 전위는 오른쪽 극판에서 0이 아니므로

$$ \sum \int \rho_2 V_1 d^3x = \int \left[ -\vec {p}\cdot \nabla \delta (\vec {r} - a\hat {x})\right] V_1d^3x + \int_\text {right plane} V_0   \sigma_R d^2x  $$

$$=\vec{p} \cdot \hat {x} \frac {V_0}{d} + V_0 q_R$$

로 주어지므로 

$$q_R = - \frac {\vec {p}\cdot \hat {x}}{d}$$이고 가우스 법칙에 의해서 

$$q_L = +\frac{\vec{p}\cdot \hat {x}}{d}$$임을 알 수 있다. 쌍극자가 두 극판에 유도하는 전하는 극판과의 거리에는 무관하고 쌍극자의 orientation에 따라 달라짐을 알 수 있다. 

접지된 도체구 주변에 쌍극자 모멘트가 $\vec{p}$인 점쌍극자가 놓여있다. 도체구에 유도되는 알짜 전하는?

풀이: 쌍극자의 방향에 따라 도체구에 유도되는 전하분포가 달라질 것으로 예상할 수 있다. 도체구의 반지름이 $a$이고, 구 중심에서 $\vec{d}$만큼 떨어진 위치에 쌍극자가 있는 경우를 생각하자. 이 상황은 Green's reciprocity theorem을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 우선 전하분포와 전위를 알 수 있는 간단한 경우를 고려하면, 접지가 안된 도체구를 전하 $q$로 대전시킨 경우다. 이 전하분포가 만드는 전위는 도체구 밖에서 점전하의 전위와 같고, 내부에서는 일정한 값 $V_1 (a) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 a}$로 주어진다. 그리고 점쌍극자의 전하분포가

$$ \rho_\text{dipole} (\vec{r}) = \lim_{\substack{h\to 0\\qh=const=p}} q \left( \delta (\vec{r}-\vec{d}) - \delta (\vec{r}- \vec{d}+ h \hat{p})\right) $$

$$ =\lim_{\substack{h\to 0\\qh=const=p}}  -qh\hat{p} \cdot \nabla \delta(\vec{r}-\vec{d}) $$

$$=-\vec{p} \cdot \nabla \delta (\vec{r} - \vec{d}) $$로 표현되고, 우리가 구하려는 구성 2에서 도체구는 접지되어 있으므로 

$$ \int\rho_1 V_2 d^3x = 0$$ 그리고

$$ \int \rho_2 V_1 d^3x = \int_\text{sphere} \rho_2 V_1 d^3x + \int_\text{dipole} \rho_2 V_1 d^3x$$

$$ = V_1(a) \int_\text{sphere} \rho_2 d^3x + \int  \left(-\vec{p} \cdot \nabla \delta(\vec{r}-\vec{d} ) \right) V_1 d^3x $$

$$= V_1(a) Q_\text{sphere} + \int (\vec{p} \cdot \nabla V_1 ) \delta (\vec{r} - \vec{d}) d^3x$$

$$= V_1(a) Q _\text{sphere} - \vec{p}\cdot \vec{d} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 d^3}$$

$$\to ~~ Q_\text{sphere} = \vec{p} \cdot\vec{d} \frac{a}{d^3}$$

반지름 $R$인 대전되지 않은 도체구가 있고 이 도체구의 중심에서 $d>R$만큼 떨어진 위치에 점전하 $Q$가 있다. 도체구의 전위는?

풀이: 영상전하법(method of image)을 사용하면 쉽게 구할 수 있다. 그렇지만 여기서도 Green's reciprocity theorem을 사용하자. 이를 이용하면 동일한 도체 구성에서 서로 다른 두 전하구성이 만드는 전위함수 사이에 하나의 관계를 얻을 수 있다. 우선 동일 구성에서 전위를 구할 수 있는 간단한 경우(구성-1)는 전하 $q$로 도체구로 대전시킨 경우다. 이 경우 전하분포와 전위함수는

$$  \sigma_1 = \frac{q}{4\pi R^2}=\text{const}$$

\begin{align} V_1 (r) = \left\{  \begin{matrix} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} & r \ge R \\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R}  & r \le R\end{matrix} \right.   \end{align}도체가 등전위임과 점전하를 도체구에 가까이 접근시킬 때 도체구 표면에서 전하분리가 일어나지만 총 전하량($=0$)은 변하지 않는다는 사실을 이용하면($\int_\text{sphere} \sigma_2 d^2x=0$),

$$ \int \rho_2 V_1 d^3x = Q \times V_1(d) + V_1 (R) \int_\text{sphere} \sigma_2 d^2x = Q \times V_1(d)$$또,$$ \int \rho_1 V_2 d^3x = q \times V_2(R)$$

이므로 우리가 구하려는 전하 구성의 경계에서 전위는

$$ V_2 (R) = \frac{Q }{ q }V_1(d) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 d}$$ 즉, 도체구의 전위는 중심에서 점전하 $Q$ 단독의 전위와 같음을 알 수 있다. 왜 이런 값을 갖는가? 영상전하법으로 구할 때 점전하 $q$와 이의 영상전하가 만드는 전위가 도체 구면에서 0이므로(접지된 도체구일 때), 도체구가 일정한 전위를 가지기 위해서는 두 번째 영상전하를 중심에 놓아야 한다. 이 두 번째 영상전하의 크기는 도체구의 알짜 전하가 0이란 사실에 의해서 결정될 수 있는데 앞서 구한 전위는 이 두 번째 영상전하가 만드는 도체구면에서 전위와 같다.