Arc Length of Bezier Curves

곡선의 길이를 구하고자 하면 곡선을 따라 속력을 적분하면 된다. 곡선을 기술하는 벡터가 $\mathbf {B}(t) = [B_x(t), B_y(t)]$ 로 주어지면 곡선의 길이는

$$\text {Arc Length}(t_1, t_2) =\int_{t_1}^{t_2} | \mathbf {B}'(t)|dt=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(B'_x(t))^2 + (B'_y(t))^2} dt.$$

그러나 일반적으로 이 적분은 닫힌 형태로 주어지지 않으므로 Gauss-Legendre quadrature와 같은 수치 적분에 의존해서 그 값을 계산하여야 한다.
Bezier curve의 경우는 기하학적인 방법을 이용하여서 좀 더 간편하게 그 길이를 구할 수 있다. Bezier curve의 길이에 대한 간단한 근사는 현의 길이($|\mathbf{Q}_3- \mathbf {Q}_0|$)로 근사하는 것이다. 그러나 현의 길이는 lower bound만을 준다. 다음으로 고려할 근사는  control 점 사이 거리의 합이다. 이것은 실제 길이의 upper bound를 준다. 따라서 근사적인 길이는 이 두 거리의 평균으로 잡으면 될 것이다:

$$ \text{Arc Length}\sim \frac{ \text {cord length} + \sum\text {distance between control points}}{2}.$$

그러나 이 근사가 유효하기 위해서는 현의 길이와 control point 간의 거리의 합

$$|\mathbf{Q}_3- \mathbf {Q}_2|+ |\mathbf {Q}_2- \mathbf {Q}_1| +|\mathbf {Q}_1- \mathbf {Q}_0|$$

의 차이가 충분히 작아야 한다. 만약에 이 두 길이의 차이기 정해진 임계값보다도 크면 Bezier curve를 둘로 분할해서 좌우 두 Bezier curve에 대해서 동일한 검사를 한다. 충분히 평탄한 경우는 위의 평균값으로 근사하고 그렇지 못한 경우는 충분히 평탄해질 때까지 분할하는 과정을 반복한다. 아래 코드는 3차 Bezier curve의 길이를 이 알고리즘을 이용해서 구하는 과정을 구현한 것이다.

#define DistL2(A, B) sqrt(((A).x-(B).x)*((A).x-(B).x) + ((A).y-(B).y)*((A).y-(B).y))
static void BezierSubDiv(CfPt Q[4], CfPt leftQ[4], CfPt rightQ[4]) {
    CfPt T[4][4];                      /* Triangle Matrix */
    for (int j = 0; j < 4; ++j) T[0][j] = Q[j];
    // de Casteljau divides and conquers at t = 0.5;
    for (int i = 1; i < 4; ++i)
        for (int j = 0 ; j <= 3 - i; ++j)
            T[i][j] = (T[i - 1][j] + T[i - 1][j + 1]) / 2;
            
    // left subdiv control points;
    for (int j = 0; j < 4; ++j) leftQ[j]  = T[j][0];
    // right subdiv control points;
    for (int j = 0; j < 4; ++j) rightQ[j] = T[3 - j][j];
}                                        
void BezierLength(CfPt Q[4], double tol, double *length) {
    CfPt leftQ[4], rightQ[4];                
    double controlLen = 0;  
    for (int i = 0; i < 3; ++i) controlLen += DistL2(Q[i], Q[i + 1]);
    double cordLen = DistL2(Q[0], Q[3]);
    // test flatness;
    if (fabs(controlLen - cordLen) > tol) {
        BezierSubDiv(Q, leftQ, rightQ);              /* divide */
        BezierLength(leftQ, tol, length);            /* left side */
        BezierLength(rightQ, tol, length);           /* right side */
        return;
    }
    *length = *length + (cordLen + controlLen) / 2 ;
    return ;
}

De Casteljau's algorithm

다음은 4분원의 길이를 위의 알고리즘을 이용해서 구하는 예제이다. 네 개의 control point는

$$ Q_1=(0,1), ~~Q_2 = (k, 1),~~Q_3=(1, k),~~Q_4=(1,0)$$

이고, $k$ 값은 Bezier curve의 중간이 원에 접하는 경우, 원과 벗어남이 가장 작은 경우, 면적을 같게 하는 경우, 길이를 같게 하는 경우 각각에 대해 계산을 한다. 

int main() {
    double k[4] = {0.5522847498, //touch at t = 0.5;
                   0.551915023,  //min-deviation;
                   0.551778477,  //match area;
                   0.551777131   //match length;
                   };
    for (int i = 0; i < 4; i++)
        printf("bezier length = %.8f\n", BezierLengthCircle(k[i]));
    printf("exact length  = %.8f\n", 2.0 * atan(1.));
    return 0;
}
double BezierLengthCircle(double k) {
    CfPt Q[4] = {{0, 1.}, {k, 1.}, {1., k}, {1., 0.}};
    double len = 0;
    double tol = 1.e-20;//
    BezierLength(Q, tol, &len);
    return len;
};