Bezier Curve Approximation of an Ellipse

Bezier 곡선을 이용한 원의 근사처럼 타원을 근사해보도록 하자. 원점을 중심으로 하고 장축 반지름이 $a$, 단축 반지름이 $b$인 타원을 1사분에서 3차 Bezier curve을 이용해서 근사하려면 4개의 control point가 필요하다. 원의 경우처럼, 끝점에서 접선의 기울기를 같게 하는 조건을 부여하면 control point는 

$$\mathbf {P_0} = (0, b), \quad \mathbf {P}_1 = (ka, b), \quad \mathbf {P}_2 =( a, kb),\quad \mathbf {P}_3 = (a, 0)$$

로 잡을 수 있다. 따라서

$$\mathbf {B}(t) = (1-t^3) \mathbf {P}_0 + 3t(1-t)^2 \mathbf {P}_1 + 3t^2 (1-t) \mathbf {P}_2 + t^3 \mathbf {P}_3 = \left(\begin {array}{c} a x(t) \\ b y(t) \end {array}\right) $$

$$ x(t) = 3k (1-t)^2 t + 3 (1-t) t^2 + t^3 \\ y(t) = 3k t^2 (1-t) + 3t(1-t)^2 + (1-t)^3 $$

$t=1/2$일 때 $(a/\sqrt {2}, b/\sqrt {2})$을 통과하는 조건을 부여하면, 원과 마찬가지로

$$ k = \frac {4}{3}(\sqrt {2}-1)= 0.5522847498...$$

을 얻는다. Mahalanobis measure를 기준으로 거리를 측정하면  타원의 경우도 벗어남 에러가

$$ \Delta (t) = \sqrt { \frac {B_x^2(t)}{a^2} + \frac {B_y^2(t)}{b^2} }  -1 =\sqrt {x^2(t)+y^2(t)}-1$$

원의 경우와 같음을 쉽게 알 수 있다.

회전된 타원; 

2사분면: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$

3사분면: $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$

4사분면: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$

void BezierEllipse(CDC *pDC, CPoint center, double a, double b) {
    const double k = 0.5522847498;
    CPen red(PS_SOLID, 3, RGB(0xFF, 0, 0));
    CPen *pOld = pDC->SelectObject(&red);
    CPoint P[4];  //control pts;
    P[0] = CPoint(center.x,                    int(center.y - b + 0.5));
    P[1] = CPoint(int(center.x + k * a + 0.5), int(center.y - b + 0.5));
    P[2] = CPoint(int(center.x + a + 0.5),     int(center.y - k * b + 0.5));
    P[3] = CPoint(int(center.x + a + 0.5),     center.y);
    pDC->PolyBezier(P, 4);
    pDC->SelectObject(pOld);
}

void BezierEllipse(CDC *pDC, CPoint center, double a, double b, double ang) {
    const double k = 0.5522847498;
    const double cosang = cos(ang);
    const double sinang = sin(ang);
    CPoint P[4];
    double x[4], y[4], xt[4], yt[4];
    //1사분면: 
    x[0] = 0,     y[0] = b;
    x[1] = k * a, y[1] = b;
    x[2] = a,     y[2] = k * b;
    x[3] = a,     y[3] = 0;
    CPen red(PS_SOLID, 3, RGB(0xFF, 0, 0));
    CPen *pOld = pDC->SelectObject(&red);    
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        xt[i] = x[i] * cosang - y[i] * sinang;
        yt[i] = x[i] * sinang + y[i] * cosang;
        P[i] = CPoint(int(center.x + xt[i] + 0.5), int(center.y - yt[i] + 0.5));
    }
    pDC->PolyBezier(P, 4);
    pDC->SelectObject(pOld);
    //4사분면;(x, -y);
    CPen blue(PS_SOLID, 3, RGB(0, 0, 0xFF));
    pOld = pDC->SelectObject(&blue);
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        xt[i] = x[i] * cosang - (-y[i]) * sinang;
        yt[i] = x[i] * sinang + (-y[i]) * cosang;
        P[i] = CPoint(int(center.x + xt[i] + 0.5), int(center.y - yt[i] + 0.5));
    }
    pDC->PolyBezier(P, 4);
    pDC->SelectObject(pOld);
    //3-사분면;(-x,-y)
    CPen green(PS_SOLID, 3, RGB(0, 0xFF, 0));
    pOld = pDC->SelectObject(&green);
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        xt[i] = (-x[i]) * cosang - (-y[i]) * sinang;
        yt[i] = (-x[i]) * sinang + (-y[i]) * cosang;
        P[i] = CPoint(int(center.x + xt[i] + 0.5), int(center.y - yt[i] + 0.5));
    }
    pDC->PolyBezier(P, 4);
    pDC->SelectObject(pOld);
    //2사분면;(-x,y);    
    CPen magenta(PS_SOLID, 3, RGB(0xFF, 0, 0xFF));
    pOld = pDC->SelectObject(&magenta);
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        xt[i] = (-x[i]) * cosang - y[i] * sinang;
        yt[i] = (-x[i]) * sinang + y[i] * cosang;
        P[i] = CPoint(int(center.x + xt[i] + 0.5), int(center.y - yt[i] + 0.5));
    }
    pDC->PolyBezier(P, 4);
    pDC->SelectObject(pOld);
}