Inverse Laplace Transform as Bromwich Integral-6

$$F(s) = \frac{\sqrt{ s+\alpha} }{s+\beta}~~~~(\alpha > \beta >0)$$

일 때 inverse Laplace transform은 Bromwich integral을 써서 표현하면 $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c - i \infty}^{c+ i \infty} \frac{\sqrt{s+\alpha }}{ s+\beta} e^{st} ds$$

$F(s)$가 $s=-\beta$에서 simple pole을 가지며 $s = -\alpha$은 branch point에 해당한다. 이 적분을 수행하기 위해서 그림과 같은 경로를 잡자.

Branch cut은 $s= -\alpha$에서 시작하여 $-x$축 방향으로 선택한다. 그러면 $$ \frac{1}{2\pi i} \oint F(s) e^{st}ds= \frac{1}{2\pi  i} \times 2 \pi i\times \text{Res} (s= -\beta)$$이다. $s= -\beta$에서 residue는 

$$ \text{Res}( s=-\beta) = \sqrt{\alpha - \beta} e^{-beta}$$이다. Branch cut을 감싸는 경로 $C_1, C_2$에서 적분을 수행하기 위해서 $z= s+\alpha$, $\gamma \equiv  \alpha - \beta$로 놓으면

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{C_1+C_2} = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_1} \frac{\sqrt{z}}{z-\gamma } e^{(z-\alpha) t} dz + \frac{1}{2\pi i}\int_{C_2} \frac{\sqrt{z}}{z-\gamma} e^{(z-\alpha) t} dz$$

$C_1$에서 $z= ue^{i\pi}~(u: \infty \to 0)$, $C_2$에서는 $z= u e^{-i \pi}~(u:0\to \infty)$이므로 

$$ \frac{1}{2\pi i} \int_{C_1+C_2} = \frac{1}{2\pi i}  \left[ \int_\infty^0   \frac{ \sqrt{u} e^{i\pi/2} e^{-ut} (-du)}{-u-\gamma} + \int_0^\infty \frac{\sqrt{u} e^{-i\pi/2} e^{-ut}  (-du)}{-u-\gamma}\right] \\= -\frac{e^{-\gamma t}}{\pi}  \int_0^\infty \frac{\sqrt{u} e^{-ut} du}{u+\gamma }$$

$$\to ~ f(t) = \text{Res}( -\beta) - \frac{1}{2\pi i} \int_{C_1+C_2} \\= \sqrt{\alpha - \beta} e^{-\beta t } +\frac{1}{\pi} e^{-\alpha t} \int_0^\infty \frac{\sqrt{u}}{u+\gamma} e^{-ut} du \\= \sqrt{\alpha - \beta} e^{-\beta t} + \frac{\sqrt{\gamma}}{\pi} e^{-\alpha t} \int_0^\infty \frac{\sqrt{x}}{1+x} e^{-(\gamma t)x} dx~~(\leftarrow~u \equiv \gamma x)$$

그런데 $ \frac{\sqrt{x}}{1+x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$임을 이용하면$$A \equiv \int_0^\infty \frac{\sqrt{x}}{1+x} e^{-(\gamma t) x} dx \\= \int_0^\infty \frac{e^{-\gamma t x}  dx}{\sqrt{x}} -\int_0^\infty \frac{ e^{-\gamma tx } dx}{\sqrt{x} (1+x)}  = \sqrt{\frac{\pi}{\gamma t}}-B$$ $$B\equiv \int_0^\infty \frac{e^{-\gamma tx}dx}{\sqrt{x}(x+1)} = e^{\gamma t} \int_0^\infty \frac{e^{-(1+x)\gamma t}dx} {\sqrt{x}(1+x)} \\ =   e^{\gamma t} \times  \pi \times \text{erfc}(\sqrt{\gamma t}) $$ $$\to ~A = \sqrt{\frac{\pi}{\gamma t}} \left[  1 -\sqrt{\pi \gamma t} e^{\gamma t} \text{erfc}(\sqrt{\gamma t}) \right]$$따라서 $F(s)$의 inverse Laplace transform은

\begin{align} f(t) &= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} \frac{\sqrt{s+ \alpha}}{s+\beta} e^{st} ds \\ &= \sqrt{\alpha - \beta} e^{-\beta t} + \frac{e^{-\alpha t} }{\sqrt{\pi t} } \left[  1 - \sqrt{\pi (\alpha-\beta) t} e^{(\alpha - \beta)t} \text{erfc}\left(\sqrt{(\alpha - \beta )t}\right) \right]\end{align}