Integration along a branch cut-034

Action angle variable 이론에서 action 적분을 구해야 하는 경우가 있다. Kepler 궤도 문제일 때 action integral

$$ I = \int_a^b \frac{\sqrt{(r-a)(b-r)}}{r} dr ~~~~(0 < a < b)$$을 contour 적분을 이용해서 구하자. 이를 위해서

$$f(z) = \frac{ \sqrt{(a-z)(b-z)}}{z}$$을 그림과 같은 경로에서 적분을 하자.

$z=a,b$는 branch point이다. Cut line을 그림과 같이 선택하는 경우 위상은 $$ -\pi \le \arg(z-a) \le \pi, \quad 0\le \arg(b-z) \le 2\pi$$로 잡는다. $z=0$이 simple pole이고, 무한대에서도 residue를 가진다. $z=0$일 때, $z=ae^{i\pi}$, $z-b = b e^{i\pi}\to b-z = e^{i2\pi}$이므로

$$\text{Res}f(0) = \sqrt{ab}e ^{i3\pi/2} = - i \sqrt{ab}$$이고(즉 $a,b$의 기하평균),

$$ \frac{\sqrt{(z-a)(b-z)}}{z} = i \sqrt{ 1- \frac{a}{z}} \sqrt{1-\frac{b}{z}}= i\left( 1 - \frac{a+b}{2z}+\cdots\right)$$이므로$$ \text{Res}f(\infty) = i \frac{ a+b}{2}$$ ($a,b$의 산술평균). 

$C_1$에서 $z-a = (r- a)e^{i0}$, $z-b= (b-r) e^{i\pi} \to b-z=(b-r) e^{i2\pi}$이므로 $$ \int_{C_1}  =      \int_a^b \frac{   \sqrt{(r-a)(b-r)} e^{i\pi} }{r} dr = -I $$ $C_2$에서 $z-a= (r-a)e^{i0}$, $z-b= (b-r)e^{i\pi}\to b-z = (b-r)e^{i0}$이므로 $$ \int_{C_2}  = \int_b^a \frac{\sqrt{(r-a)(b-r)} }{r}dr = -I$$

따라서, 

$$ -2I = 2 \pi i \times \left( i\frac{a+b}{2} - i \sqrt{ab}\right)  \\ I = \pi \left( \frac{a+b}{2} -\sqrt{ab}\right)\ge  0$$