Integration along a branch cut-034

Action angle variable 이론에서 action 적분을 구해야 하는 경우가 있다. Kepler 궤도 문제일 때 action integral

$$I={\int }_a^b\frac{\sqrt{(r-a)(b-r)}}{r}dr(0<a<b)$$을 contour 적분을 이용해서 구하자. 이를 위해서

$$f(z)=\frac{\sqrt{(a-z)(b-z)}}{z}$$을 그림과 같은 경로에서 적분을 하자.

$z=a,b$는 branch point이다. Cut line을 그림과 같이 선택하는 경우 위상은 $$-\pi \le \arg (z-a)\le \pi ,0\le \arg (b-z)\le 2\pi$$로 잡는다. $z=0$이 simple pole이고, 무한대에서도 residue를 가진다. $z=0$일 때, $z=a{e}^{i\pi }$, $z-b=b{e}^{i\pi }\to b-z=e^{i2\pi }$이므로

$$\text{Res}f(0)=\sqrt{ab}{e}^{i3\pi /2}=-i\sqrt{ab}$$이고(즉 $a,b$의 기하평균),

$$\frac{\sqrt{(z-a)(b-z)}}{z}=i\sqrt{1-\frac{a}{z}}\sqrt{1-\frac{b}{z}}=i(1-\frac{a+b}{2z}+\cdots )$$이므로$$\text{Res}f(\mathrm{\infty })=i\frac{a+b}{2}$$ ($a,b$의 산술평균). 

$C_1$에서 $z-a=(r-a)e^{i0}$, $z-b=(b-r)e^{i\pi }\to b-z=(b-r)e^{i2\pi }$이므로 $${\int }_{C_1}={\int }_a^b\frac{\sqrt{(r-a)(b-r)}{e}^{i\pi }}{r}dr=-I$$ $C_2$에서 $z-a=(r-a)e^{i0}$, $z-b=(b-r)e^{i\pi }\to b-z=(b-r)e^{i0}$이므로 $${\int }_{C_2}={\int }_b^a\frac{\sqrt{(r-a)(b-r)}}{r}dr=-I$$

따라서, 

$$\begin{gathered} -2I=2\pi i\times (i\frac{a+b}{2}-i\sqrt{ab}) \\ I=\pi (\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab})\ge 0 \end{gathered}$$