Geometry & Recognition

통나무에 감긴 줄을 이용하면 훨씬 무거운 물체를 떨어지지 않게 지탱할 수 있다. 이는 줄과 통나무 사이에 작용하는 마찰력 때문이다. 감긴 줄이 팽팽하게 되었을 때 줄의 좌우의 장력에 차이가 생기는데 얼마나 생길까?

문제를 간단히 하기 위해 작은 각도($\Delta\theta$)만 걸치는 경우를 생각하면, 오른쪽이 더 센 장력($T+ΔT$)이 걸리면 마찰력($\mu N$)은 왼쪽 방향으로 작용한다. 좌우 장력의 차이 $ΔT$를 계산하기 위해 평형 조건을 고려하면

\begin{gather}\sum F_x = (T+\Delta T) \cos \frac{\Delta \theta}{2} - T\cos \frac{\Delta\theta}{2} -\mu N = 0 \\ \sum F_y = N - T \sin \frac{\Delta \theta}{2} - (T+\Delta T) \sin \frac{\Delta \theta}{2} = 0 \end{gather}

$\Delta \theta \ll 1$이므로 $\cos \frac{\Delta \theta}{2}\approx 1$, $\sin \frac{\Delta \theta}{2} \approx \frac{\Delta \theta}{2}$을 쓰면

\begin{gather} \Delta T = \mu N~\text{and}~ N = T \Delta \theta \\ \longrightarrow ~ \frac{\Delta T}{\Delta \theta} = \mu T ~ \longrightarrow~ \frac{dT}{d\theta} = \mu T\end{gather}

$$  \therefore~ T(\theta) = T_0 e^{\mu \theta}~ \text{or} ~ T_0 = T (\theta) e^{-\mu \theta}$$

마찰력 때문에 장력은 감긴 각도의 크기에 지수함수적으로 비례해서 커진다. ($\theta$는 장력이 큰 쪽으로 증가한다) 위 그림에서 $T(\theta) = Mg$, $n+1/2 (\text{or}~ \theta = (n+1/2) 2\pi)$회 감기므로

$$T_0 = e^{-2\pi \mu (n + 1/2)} Mg ~~(n=0,1,2,...)$$

따라서, 줄을 한 두 바퀴 정도만 감아도 무거운 물체를 충분히 지탱할 만큼의 장력이 발생하므로 작은 힘($T_0$)으로도 무거운 물체($Mg$)를 지탱할 수 있다.

용수철에 3kg의 물체를 매달았더니 원래 길이보다 3m 늘어났다. 이 용수철과 물체를 3 등분하여 오른쪽 그림처럼 매단다. 전체 늘어난 길이는 분할하기 전보다 길어지는가, 같은가 아니면 줄어드는가?

스티로폼을 줄을 이용해서 용기의 물에 완전히 잠기도록 하였다. 이 경우 스티로폼에 작용하는 부력은 스티로폼의 무게와 줄의 장력에 의해서 균형을 이룬다. 연결된 줄을 끊어서 스티로폼이 물에 떠 있는 상황이 되면 저울의 눈금은 어떻게 변할까?

1. 증가한다: 줄이 위로 당기는 힘이 사라져 그릇 무게가 그대로 저울에 작용하므로 

2. 감소한다: 스티로폼이 뜨면 물의 높이가 내려가서 바닥을 누르는 압력이 줄어들므로(압력은 높이에 비례)

3. 변함없다: 어차피 그릇+물+스티로폼의 무게는 변함없으므로

4. 정보가 부족하다.

미끄러운 얼음판 위에서 자석을 이용해서 차를 움직이려고 한다. 차는 앞으로 계속 움직일 수 있을까?

더보기

 

 

당근은 당나귀를 앞으로 갈 수 있게 만들까? (얼음판 위는 아니다)

실패(pulley)의 둘레에 실을 감은 후 미끄러짐이 없이 구르게 당긴다. 실패의 중심이 이동한 거리와 당긴 실의 끝이 이동한 거리의 관계는?

실을 당기면 실패는 회전하면서 앞으로 전진한다. 풀린 실의 길이는 가장자리가 회전한 거리만큼($R\theta$)이고 이 거리는 실패가 전진한 거리($x$)와 같다. 따라서 실의 끝이 움직이는 거리는 회전해서 풀린 실의 길이에 중심이 이동한 거리를 더해야 한다($x+R\theta=2x=2R\theta$).