Geometry & Recognition

한 개의 Bezier 곡선을 이용해서 원을 표현할 수 없음은 잘 알려진 사실이다. 그럼 Bezier 곡선을 이용해서 얼마나 원(호)을 잘 근사할 수 있을까? 원점에 중심을 둔 반지름 1인 원의 1 사분면 원호가 3차 Bezier 곡선으로 얼마나 잘 표현되는지 알아보자. 3차 Bezier 곡선은 4개의 control point $\{ \mathbf {P}_i | i=0,1,2, 3\}$이 주어진 경우

$$ \mathbf {B}(t) = (1-t^3) \mathbf {P}_0 + 3t(1-t)^2 \mathbf {P}_1 + 3t^2 (1-t) \mathbf {P}_2 + t^3 \mathbf {P}_3$$

으로 표현된다. 원호 근사에 필요한 control point의 위치는 다음 조건을 부여하면 얻을 수 있다.

(1) 시작점($t=0$)과 끝점($t=1$)은 원 위에 있어야 하므로

$$\mathbf {B}(t=0) = (0,1) \quad \rightarrow \quad \mathbf {P_0} = (0,1),$$

$$\mathbf {B}(t=1) = (1,0) \quad \rightarrow \quad \mathbf {P_3} = (1,0).$$

또 시작점과 끝점에서 접선이 원에도 접해야 하므로

$$ {\mathbf {B}'}(t=0) \propto (1,0)\quad \text {and}\quad {\mathbf {B}'}(t=1)\propto (0,-1)$$

에서 나머지 두 control point는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$$ \mathbf {P}_1 = (k, 1), \quad \mathbf {P}_2 = (1, k).$$

그럼 $k$ 값은 어떻게 정할 수 있을까?

(2-1) Bezier 곡선의 중간지점이  원 위에 있도록 조건을 부여하면

$$ \mathbf {B}(t=1/2) = (1/\sqrt {2}, 1/\sqrt {2})$$

을 얻고, 이를 이용하면

$$k= \frac {4}{3} (\sqrt {2}-1) = 0.5522847498...$$

을 얻는다.

그럼 원에서 얼마나 벗어날까? 원 중심에서 거리를 차이를 구해보면 Bezier 곡선이 항상 원의 바깥으로 치우쳐 있음을 알 수 있다:

$$\Delta(t) = ||\mathbf {B}(t)||-1\ge 0$$ 

최대로 벗어나는 정도는 $t=(3\pm \sqrt{3})/6$일 때 $\Delta_\text {max}=\frac{1}{3}\sqrt{ \frac{71}{6}-2\sqrt{2}}-1=0.00027253...$이므로 대부분의 경우 크게 벗어남이 없는 원의 근사를 준다.

(2-2) $t=1/2$에서 Bezier 곡선이 원을 통과하는 조건 대신 원에서 벗어남을 최소로 하는 조건을 부여하면 더 좋은 근사를 얻을 수 있다:

$$k=\text{argmin}|\Delta|_\text{max}$$

이 경우  Bezier 곡선은 원의 바깥에 놓이지 않고 교차하게 된다. $t=1/2$에서 최솟값, $t=\frac{1}{2}\left(1\pm \frac{\sqrt{3k^2+20k -12}}{2-3k}\right) $일 때 최댓값을 가지는데, 두 값의 절댓값이 같게 되려면(closed form이 없다)

$$ k = 0.551915023...$$

을 선택해야 하고, 이때 벗어남의 최댓값은 $|\Delta|_\text{max} =  0.00019607...$이므로 더 좋은 근사가 된다.

(2-3) 또 다른 제한조건은 없을까? Bezier 곡선이 만드는 면적이 사분원의 면적을 표현하도록 제한을 가하는 경우:

$$\frac{\pi}{4} = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}\left( B_y B'_x - B_x B'_y\right) dt \\ = \int_0^1  \left(-\frac{3}{2} \left(3 k^2 (t-1)^2 t^2+k \left(-2 t^4+4 t^3-6 t^2+4 t-1\right)+2 (t-1) t\right) \right)dt \\= \frac{1}{2}+\frac{3k}{5}-\frac{3k^2}{20}$$ 에서 

$$ k = 2 - \sqrt{ \frac{22 - 5 \pi }{3}} =0.551778477...$$

이다. 이 경우 면적은 같으나 벗어남 오차는 $t=1/2$일 때

$$|\Delta |_\text{max} = \frac{1}{8} \sqrt{332-40 \sqrt{66-15 \pi }-30 \pi }-1= 0.00026849...$$

로 주어지는데, 중심을 지나는 경우보다는 벗어남이 작지만 최소는 아니다.

(2-4) Bezier 곡선의 길이가 원주가 되는 제한조건을 걸 수도 있다:

$$\frac{\pi}{2}  = \int_0^1\sqrt{ (B'_x)^2 + (B'_y)^2}dt.$$

그런데 우측 적분이 closed form으로 주어지지 않는다. 때문에 $k$ 값을 구하기 위해서 전적으로 numerical method에 의존해야 되는데,  그 결과만 쓰면

$$k=0.551777131...$$

화면이나 그림에서 직선을 그리려면 직선의 방정식을 만족하는 모든 픽셀들을 찾으면 된다. 하지만 픽셀의 위치는 연속적인 값이 아니라  이산적이므로 그림에 그려진 직선을 구성하는 픽셀은 그 직선을 표현을 하는 식이 주는 값에 가장 가까운 정수를 찾아서 그린 것이다. 직선을 그리기 위해서 실수 연산을 한 후 정수로 반올림하는 과정이 들어가게 된다. 

Bresenham 알고리즘은 평면 위의 두 점 $(x_0, y_0), (x_1, y_1)$을 연결하는 직선을 정수 연산만을 사용하여 그릴 수 있음을 보여준다. 직선의 방정식은 $y = mx +b$의 형태로 표현이 되고, 두 점이 주어지는 경우 기울기는 $m = \frac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac {\Delta y}{\Delta x}$, $y-$절편은 $b =y_0 - m  x_0$로 얻을 수 있다. 직선의 기울기가 1보다 크면 $x$와 $x+1$에서 변할 때 종속변수 $y$값의 차이가 커지므로 선이 연속적으로 그려지지 않게 보인다.  이 경우 $y$를 독립변수로 사용하면 되고, 기울기가 음수면 시작과 끝을 바꾸면 된다. 따라서 기울기가 $0\le m \le 1$인 경우만 살펴보면 충분하다. 

이제, $(x_k, y_k)$ 위치에서 직선의 픽셀이 정해진 경우,  $x_{k+1}= x_k + 1$에서 직선식의 값 $y =m (x_k + 1) + b$는 어떤 정수 값으로 대체되어야 하는가? 기울기가 1보다 작으므로 $y$는 구간 $[y_k, y_k +1]$에서 값을 취한다. 즉,  오른쪽 옆이나 오른쪽 위 픽셀에 점을 찍어야 한다. 수식으로는 구간의 아래($d_{lower}$)와 위쪽($d_{upper}$)과의 차이를 비교하여 작은 쪽으로 결정하면 된다:

$$ d_{lower} = y - y_k = m(x_k + 1) +b - y_k$$

$$ d_{upper} = (y_k + 1) - y = y_k + 1 - m (x_k + 1) -b$$

이 과정을 실수 연산 없이 판별하는 방법을 알아내자. $d_{lower}$와 $d_{upper}$의 차이는 

$$ d_{lower} - d_{upper} = 2m (x_k + 1) - 2 y_k + 2b -1$$

로 표현되고, 나눗셈을 하지 않기 위해서 $\Delta x$을 곱한 값을 discriminator로 사용하자:

$$p_k = \Delta x(d_{lower} - d_{upper} )= 2 \Delta y (x_k + 1) - 2 \Delta x y_k  + \Delta x (2b-1)$$

의 꼴로 표현되므로 직선의 정보($\Delta x, \Delta y$)와 현재 점을 찍은 픽셀($x_k, y_k$)을 알면 다음번에 점을 찍을 픽셀을 정수 연산만 가지고 판별할 수 있는 장점이 있다. $k+1$일 때 판별식이

$$ p_{k+1} = 2 \Delta y (x_k + 1)  - 2 \Delta x y_{k+1}  + \Delta x (2b-1)$$

이므로 다음과 같은 recursion relation을 만족한다:

$$p_{k+1} = p_k + 2\Delta y - 2\Delta x  (y_{k+1} - y_k) \\ p_0 = 2\Delta y - \Delta x$$

이를 이용하면 시작 픽셀 $(x_0, y_0)$에서 $p_0 = 2\Delta y - \Delta x$을 계산하여 0보다 작지 않으면 $(x_k + 1, y_k+1)$ 픽셀에 점을 찍고,  그다음 점찍을 픽셀은  $p_{k+1} = p_k + 2\Delta y - 2\Delta x$을 이용해서 판별한다. $p_0 < 0$ 이면 ($x_k +1, y_k$) 픽셀에 점을 찍고,  그다음 점을 찍을 픽셀은 $p_{k+1}= p_k + 2\Delta y$을 계산하여 판별한다.

void BresenhamLine(int x1, int y1, int x2, int y2, DWORD color) {
    int dx = x2 - x1 ;
    int incx = 1;
    if (dx < 0) {
        dx = -dx;
        incx = -1;
    }
    int dy = y2 - y1;
    int incy = 1;
    if (dy < 0) {
        dy = -dy;
        incy = -1;
    }
    setPixel(x1, y1,color);
    if (dx > dy) {
        int p = (dy << 1) - dx;
        while (x1 != x2) {
            if (p >= 0) {
                y1 += incy;
                p -= (dx << 1);
            }
            x1 += incx;
            p += (dy << 1);
            setPixel(x1, y1, color);
        }
    } else {
        int p = (dx << 1) - dy;
        while (y1 != y2) {
            if (p >= 0) {
                x1 += incx;
                p -= (dy << 1);
            }
            y1 += incy;
            p += (dx << 1);
            setPixel(x1, y1, color);
        }
    }
};

/*
** 두 점 A, B가 주어졌을 때 벡터 (B-A)가 x-축과 이루는 각을 [0,8)사이로 보내는  
** 간단한 연산의 단조증가함수를 만들어 실제의 각을 대신하도록 한다. 
** 실제 각을 다른 계산에 넣어 사용하지 않고 비교만 할 때 매우 유용하다.
** (0,  1,  2,   3,   4,   5,   6,   7,   8)은 각각 실제 각도
** (0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360)에 해당한다.
*/
double FowlerAngle(CPoint A, CPoint B) {
    return FowlerAngle(B.x - A.x, B.y - A.y);
}
double FowlerAngle(double dx, double dy) {
    double adx = dx < 0 ? -dx: dx;
    double ady = dy < 0 ? -dy: dy;
    int code = (adx < ady) ? 1: 0;
    if (dx < 0)  code += 2;
    if (dy < 0)  code += 4;
    switch (code) {
    case 0: if (dx == 0) return 0;   /*     dx = dy = 0     */
            else return ady / adx;   /*   0 <= angle <=  45 */
    case 1: return 2 - adx / ady;    /*  45 <  angle <=  90 */
    case 2: return 4 - ady / adx;    /* 135 <= angle <= 180 */
    case 3: return 2 + adx / ady;    /*  90 <  angle <  135 */
    case 4: return 8 - ady / adx;    /* 315 <= angle <  360 */
    case 5: return 6 + adx / ady;    /* 270 <= angle <  315 */
    case 6: return 4 + ady / adx;    /* 180 <  angle <= 225 */
    case 7: return 6 - adx / ady;    /* 225 <  angle <  270 */
    }
};