Geometry & Recognition

자전거가 가속을 하므로 질량중심 좌표계를 사용해야 단순하다. 

수평방향의 정지 마찰력이 구심력 역할을 한다: $f= mv^2/R$.

그리고 수직방향으로 중력과 수직항력이 평형을 이루고 있다: $N=mg$

질량중심을 기준으로 보면 정지 마찰력은 반시계 방향으로 회전시키는 토크를 만들므로 안정적으로 회전하기 위해서는 수직항력이 시계방향으로 회전시키는 토크를 만들 수 있게 몸을 트랙 안쪽으로 기울여야 한다. 기울인 각도를 $\theta$라 하면 수직항력과 마찰력의 토크 평형에서(바퀴의 접촉점에서 자전거+사람의 무게중심까지 거리를 $d$라면):  $Nd\sin \theta = f d \cos \theta$

$$\tan \theta = \frac{f}{N} = \frac{v^2}{gR}= \frac{ (10\text{m/s})^2 }{(9.8\text{m/s}^2)(30\text{m}) }$$

$$ \therefore \theta=18.8^\circ$$

사람의 사이즈가 트랙에 비해 무시할 만큼 작다는 전제가 있어야 한다. 그리고 트랙의 마찰이 충분해서 밀리지 않는다는 전제도 필요한다. 위에서 구한 정지 마찰력이 최대 정지 마찰력보다 커지면 자전거는 미끄러진다.

공과 내부 유체는 같이 병진 운동을 하므로 질량 중심의 운동 방정식은 $\sum F_x = (m+m) g\sin \alpha  - f = (m+m)a $

공 내부의 유체는 점성이 없으므로 공과 같이 회전하지 않는다. 따라서 질량 중심에 대한 회전 운동은 공의 회전만 고려하면 된다. 그리고 유체는 공의 회전을 영향을 주는 토크를 만들지 않으므로: $ \sum \tau_{cm} = fR=\left(  \frac{2}{3}mR^2  \right) \alpha =\frac{2}{3}mR^2 \frac{a}{R}= \frac{2}{3}mRa$

이 두 식에서 $$a=\frac{3}{4} g \sin \alpha $$