Geometry & Recognition

판자($M$)의 오른쪽 끝에 실린더($m$)가 올려져 있다. 힘($F$)을 줘서 판자를 오른쪽으로 밀 때 (실린더는 판자 위에서 미끄러짐이 없이 구른다),

1. 실린더가 회전하는 방향은? 
2. 실린더가 움직이는 방향은?
3. 실린더 (and 판자)의 가속도는? (바닥과 마찰이 없는 경우)
4. 실린더가 판자의 왼쪽 끝으로 왔을 때 실린더는 처음 위치에서 얼마나 이동한 것인가?

풀이는 https://kipl.tistory.com/339 하단에

오토바이를 타고 코너를 돌 때 안쪽으로 약간 기울이면 넘어지지 않고 안전하게 돌 수 있다는 사실은 라이더라면 누구나 경험으로 알고 있을 것이다.

1. 왜 기울여야 하는가?

2. 속력 $v$로 반지름 $R$인 코너를 돌 때 얼마나 기울여야 할까?

3. 도로면의 마찰계수는 얼마나 되어야 할까?

https://www.youtube.com/watch?v=ZpV2Bg-WX0w&t=244s

볼링공(반지름: $R$, 회전관성: $\frac{2}{5} mR^2$)이 굴러가다가 턱에 부딪치는 경우를 보자. 충돌이 비탄성적이라면 공은 턱(높이: $h$)을 기준으로 회전해서 턱 위로 올라갈 수 있다. 물론 부딪치기 직전 속도가 너무 작으면 오를 수 없고, 너무 크면 위로 튄다. 어떤 조건일 때 튀지 않고 턱 위로 올라갈 수 있을까?

1. 충돌 전후로 턱에 대한 각운동량이 보존되므로 충돌 직후 각속도 $\omega$는 충돌 전 속도($v_0$)를 알면 구할 수 있다.

$$I \left( \frac{v_0}{R} \right) + mv _0(R-h) = (I + mR^2) \omega$$

$$ \to ~~\omega= \left(  1 - \frac{5h}{7R}\right) \frac{v_0}{R}$$

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 공이 턱에 완전히 올라서기 위해서는 충돌 직후 각속도 $\omega$가  일정한 크기 이상이어야 한다:

$$\frac{1}{2} (I+ mR^2) \omega^2  \ge  mgh$$

$$ \to ~~R \omega  \ge \sqrt{\frac{10}{7 }gh}$$

$$\text{or}~~ v_0 \ge\frac{1}{1- 5h/7R} \sqrt{\frac{10}{7} gh}$$