Geometry & Recognition

실패(pulley)의 둘레에 실을 감은 후 미끄러짐이 없이 구르게 당긴다. 실패의 중심이 이동한 거리와 당긴 실의 끝이 이동한 거리의 관계는?

실을 당기면 실패는 회전하면서 앞으로 전진한다. 풀린 실의 길이는 가장자리가 회전한 거리만큼($R\theta$)이고 이 거리는 실패가 전진한 거리($x$)와 같다. 따라서 실의 끝이 움직이는 거리는 회전해서 풀린 실의 길이에 중심이 이동한 거리를 더해야 한다($x+R\theta=2x=2R\theta$).

[Q1] 구멍이 뚫린 물병을 자유 낙하시키면 구멍에서 물이 흘러나올까?

1. 나온다
2. 안나온다
3. 물병에 따라 다르다.

[Q2] 시험관을 이용하면 대략 76cm 높이의 수은 기둥을 만들 수 있다 (토리첼리 실험). 이 실험을 달에서 하면 여전히 수은 기둥이 만들어지는가? 만들어진다면 높이는 어떻게 변할까? 안 만들어진다면 왜 그런가?(달 표면에서 중력가속도는 지구 표면에서의 1/6 정도)

1. 76/6 cm
2. 0 cm
3. 정보 부족

현재 피사의 탑은 수직에 대해서 5.5도 정도 기울어져 있다고 한다. 어느 각도까지 넘어지지 않고 견딜 수 있을까? 

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간단히 추정하기 위해 탑을 균일한 원통형 기둥으로 생각하면 탑의 무게중심을 지나는 연직선이 탑의 맨 아래 가장자리를 넘어서는 경우에 넘어지게 된다. 왜냐하면 이 경우에 중력이 만드는 넘어지는 토크를 상쇄시킬 방법이 없다. (물론 외부에서 줄로 당기면 된다) 따라서 임계각은 $$ \tan \theta = \frac{D}{H}\quad \Leftrightarrow \quad \theta = \tan^{-1} \frac{D}{H}.$$

 

피사 탑은 높이가 $\tt H=55m$ 평균 지름이 $\tt D=7m$이므로 임계각은 $\tt 7.25^\circ$ 정도다. 현재 기울어진 각도는 $\tt 5.5^\circ$이다.