Geometry & Recognition

바위를 치는 지점이 막대의 질량중심을 넘지 않으면 질량중심의 가속도와 손잡이 부분에서 회전에 의한 접선 가속도가 같은 방향이어서 항상 힘을 받는다. 막대가 바위를 치는 과정에서 바위는 막대에게 힘 $F_{\text{rock}}$을 주고 또 손에서 힘($F_{\text{hand}}$)을 줄 수 있다. 이 두 힘이 막대의 질량중심을 가속시키고, 또한 질량중심에 대해서 회전운동을 만든다. 손이 잡고 있는 끝부분은 질량중심과 같은 가속도 성분($a_{\text{cm}}$)과 회전에 의한 반대방향의 접선가속도($a_t=\frac{\ell }{2}\alpha$)를 가지게 된다. 방향이 반대인 이 두 가속도의 벡터합이 손을 잡고 있는 끝부분의 알짜 가속도가 되고, 끝부분이 움직이지 않으면 손에 충격을 주게 된다. 따라서 손이 충격을 받지 않기 위해서는 이 가속도가 0이 되도록 바위에 부딪히는 위치를 조절해야 한다. 손에서 부딪히는 지점까지 거리를 $x$라면, 막대의 운동방정식은

$$\begin{array}{rl}& \text{translation:}m{a}_{\text{cm}}=F_{\text{rock}}+F_{\text{hand}},\\ & \text{rotation:}I\alpha =F_{\text{rock}}(x-\frac{\ell }{2})-F_{\text{hand}}\frac{\ell }{2}\end{array}$$

손잡이 부분의 가속도가 0이 되어야 하므로

$$\begin{array}{rl}{a}_{\text{end}}& =a_{\text{cm}}-\frac{\ell }{2}\alpha \\ & =\frac{F_{\text{rock}}+F_{\text{hand}}}{m}-\frac{\ell }{2I}[F_{\text{rock}}(x-\frac{\ell }{2})-F_{\text{hand}}\frac{\ell }{2}]\\ & =0\\ \to & \frac{F_{\text{hand}}}{F_{\text{rock}}}=\frac{m{\ell }^2(\frac{x}{\ell }-\frac{1}{2}-\frac{2I}{m{\ell }^2})}{1+\frac{m{\ell }^2}{4I}}\end{array}$$

손이 작용하는 힘이 0이기 위해서는

$$\frac{x}{\ell }=\frac{1}{2}+\frac{2I}{m{\ell }^2}$$을 만족시켜야 한다. 막대의 회전관성이 $I=m{\ell }^2/12$이므로

$$x=\frac{2}{3}\ell$$

즉 막대 끝을 잡고 내리칠 때 막대 길이의 $2/3$ 지점을 치면 손이 받은 충격이 없게 된다.

구슬이 운동을 시작하면 원운동을 하는데, 처음에는 수직항력과 중력의 중심성분이 구심력 역할을 한다. 수직항력은 처음에는 링 중심에서 나가는 방향으로 작용하지만 $\cos \theta =2/3$인 지점에 그 값이 0이 되고(구슬이 링에 꿰어져 있지 않다면 링에서 떨어진다), 그 이후에는 구슬을 계속 원운동 하게 만들기 위해서는 링 중심방향으로 작용해야 한다. 

$$\text{circular motion:}N+mg\cos \theta =\frac{m{v}^2}{R}(0<\cos \theta <\frac{2}{3})$$

이고 이때 구슬의 속력은 역학적 에너지 보존에 의해서 

$$v^2=2Rg(1-\cos \theta )$$이므로

$$N=mg(2-3\cos \theta )$$

이 수직항력의 반작용이 링에 작용하는데 수평성분은 양쪽 구슬에서 상쇄되므로 수직방향이 성분이 남는다. 이 수직방향 성분이 링의 무게보다 커지면 링은 위로 솟구칠 수 있다. 

$$R_y=2N\cos \theta =2mg(2\cos \theta -3{\cos }^2\theta )\ge \frac{2}{3}mg$$

링에 작용하는 힘이 장력, 중력 그리고 $R_y$인데, $\text{min}(R_y)>Mg$이면 장력이 없더라도 링은 위로 가속할 수 있다.

$$m>\frac{3}{2}M$$

마찰이 없으므로 실린더의 회전운동은 없고, 위 실린더는 아래로 내려가는 운동을, 아래 실린더는 수평운동만 한다.  두 실린더가 접촉을 하는 동안 위쪽 실린더의 중심 높이를 $y$, 내려가는 속력은 $v_y$, 아래쪽 실린더의 수평위치를 $x$, 수평속도를 $v_x$, 그리고 두 실린더의 중심을 연결하는 선분이 수평과 이루는 각을 $\theta$라면

$$x=R+2R\cos \theta ,y=R+2R\sin \theta$$

$$v_x=-2R\sin \theta \frac{d\theta }{dt},v_y=2R\cos \theta \frac{d\theta }{dt}$$
역학적에너지 보존을 이용하면 

$$\frac{1}{2}M(v_x^2+v_y^2)=2MgR(1-\sin \theta )$$

$$\to v_x^2+v_y^2=4gR(1-\sin \theta )$$

$$\to {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{g}{R}(1-\sin \theta )$$

$$\therefore v_x^2=4Rg({\sin }^2\theta -{\sin }^3\theta )$$

따라서

$$\frac{d{v}_x^2}{dt}=4Rg\cos \theta (2\sin \theta -3{\sin }^2\theta )\frac{d\theta }{dt}=2v_x\frac{d{v}_x}{dt}$$

$$\to \frac{d{v}_x}{dt}=g\cos \theta (3\sin \theta -2)$$이므로 $$\sin \theta =\frac{2}{3}$$

일 때 최댓값에 도달한다.

$$(v_x{)}_{\text{max}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}\sqrt{Rg}$$

아래쪽 실린더는 위쪽 실린더가 접촉면에서 누르는 힘($\overrightarrow{R}$)의 수평성분에 의해 가속이 되는데 $\theta ={\sin }^{-1}(2/3)$에서 두 실린더의 접촉이 없어지므로 수평성분의 변화가 생기지 않는다.

$$R_x=M\frac{d{v}_x}{dt}=Mg\cos \theta (3\sin \theta -2)$$

윗쪽 실린더에 대해서도 확인하면,

$$v_y^2=4Rg{\cos }^2\theta (1-\sin \theta )$$

$$M\frac{d{v}_y}{dt}=-Mg+R_y$$

$$\to R_y=Mg+M\frac{d{v}_y}{dt}=Mg\sin \theta (3\sin \theta -2)$$어서 $R_y$도 0이 됨을 알 수 있다.