Geometry & Recognition

막대가 원판과 같이 회전하는 경우 막대에 작용하는 힘은 중력, 수직항력, 그리고 원판과 접촉점에서 정지마찰력(회전축 향하는 방향)이다. 막대 질량중심이 일정한 높이에서 반지름 $r=\frac{L}{2} \cos \theta$인 원운동을 하므로

$$ \sum F_y = N - mg = 0$$

$$ \sum F_c = f = m \frac{L}{2}\cos\theta \omega^2 $$

원판 중심축과 만나는 막대끝을 원점으로 선택하여 막대의 각운동량($\vec{J}$) 크기를 구하면(방향은 회전축과 막대가 놓인 평면에서 막대에 수직하게 나가는 방향($\vec{J} = m\vec{r}\times \vec{v}$, 막대의 주축방향과 회전방향이 다르므로 각운동량을 이용한 운동방정식을 사용한다)

$$ J= \int_0^L \frac{m}{L}dr (r)( r \cos\theta \omega) = \frac{1}{3} mL^2 \omega \cos\theta$$ 

중력과 수직항력 그리고 마찰력에 의한 토크가 항상 각운동량 벡터에 수직이므로 각운동량의 크기는 변하지 않고 방향만 변한다. 따라서 $\vec{J}$은 회전축 방향 성분($J_{||} = J \cos\theta$)과 수직인 성분($J_\bot = J\sin \theta$)으로 분해하면 수직성분의 방향만 계속 변한다.

$$ \frac{dJ_\bot}{dt} = J_\bot \omega = J \sin \theta \omega = \frac{1}{3} mL^2 \omega^2 \cos \theta \sin \theta$$

그리고 외력에 의한 토크는

$$ \sum \tau = mg\frac{L}{2}\cos \theta  -N L\cos \theta + f L\sin \theta $$

$$=- mg\frac{L}{2}\cos \theta  +  m\frac{L^2}{2}\omega^2 \cos \theta \sin \theta = \frac{dJ}{dt} =\frac{d J_\bot}{dt}$$

따라서,

$$\omega = \sqrt{ \frac{3g}{L \sin \theta}}$$

$\theta\to0$이면 마찰력의 모멘트팔이 짧아지므로 수직항력이 만드는 토크와 균형을 마추려면 매우 빠르게 회전을 해야 한다. $\theta\to \frac{\pi}{2}$인 경우는 원판이 회전을 하던 안하던 막대가 서 있을 수 있으므로 이 경우는 별도로 취급해 주어야 한다.