Geometry & Recognition

1. 상자가 떨어지는 과정:  상자는 A지점을 중심으로 회전운동을 한다. 따라서 B가 바닥에 닿기 직전 회전각속도 ${\omega }_0$는 에너지 보존을 사용하면 ($I_A=I+m(\ell /\sqrt{2}{)}^2$는 A에 대한 상자의 회전관성)

$$\mathrm{\Delta }K=\frac{1}{2}{I}_A{\omega }_0^2-0=-\mathrm{\Delta }U=\frac{mg\ell }{2}(\sqrt{2}-1)$$

$$\to {\omega }_0^2{\ell }^2=\frac{3}{2}g\ell (\sqrt{2}-1)$$

2. B에서 충돌전후: B에서 충돌이 완전비탄성적이므로 B점의 반동은 없다. 그리고 충돌과정에서 B점을 기준으로 회전을 하므로 B점에 대한 각운동량 보존된다(충격력이 B점에만 집중). 충돌 전 질량중심의 운동량은  B를 향하는 방향이므로 B점에 대한 각운동량에 기여가 없고, 충돌 후 질량중심의 속도가 $\omega \frac{\ell }{\sqrt{2}}$임을 고려하면, 충돌 전후 B점에 대한 각운동량 보존식은

$$I{\omega }_0+m{v}_{\text{cm}}\frac{\ell }{\sqrt{2}}\sin (0)=I\omega +\left(m\omega \frac{\ell }{\sqrt{2}}\right)\frac{\ell }{\sqrt{2}}$$ $$\to \omega =\frac{1}{4}{\omega }_0$$

3. 오르는 과정: B에 대해서 회전운동을 한다. 최고로 높이 올라간 위치에서 질량중심의 높이를 $h$라면, 역학적에너지 보존에서

$$\mathrm{\Delta }K=0-\frac{1}{2}{I}_B{\omega }^2=-\frac{1}{3}m{\ell }^2{\omega }^2=-\mathrm{\Delta }U=-mg\ell (\frac{h}{\ell }-\frac{1}{2})$$ $$\to \frac{h}{\ell }=\frac{15+\sqrt{2}}{32}$$

이때 상자가 바닥에 대해서 기울어진 각도를 $\theta$라면

$$\sin ({45}^{\circ }+\theta )=\frac{h}{\ell /\sqrt{2}}\to \theta ={1.50}^{\circ }$$

줄이 팽팽해지는 순간 막대에는 위쪽 방향의 충격을 받는다. 이 충격으로 인해 질량중심의 속도($v_x$(:줄에 수직), $v_y$(:줄방향)에 변화가 생기고 또는 충격력에 의한 토크로 회전각속도($\omega$: 반시계방향)를 가진다. 줄이 묶인 지점을 축으로 순간회전하고, 이 축에 대한 impulsive torque가 없으므로(중력은 non-impulsive) 이 축에 대한 각운동량이 보존된다.

$$L_{\text{end}}=\text{const}:(m{v}_0)\frac{\ell }{2}=I\omega +(m{v}_x)\frac{\ell }{2}\cos \theta -(m{v}_y)\frac{\ell }{2}\sin \theta$$

충격력이 줄방향으로만 작용하므로 줄에 수직인 운동량 성분은 보존된다.

$$p_{\mathrm{\perp }}=\text{const}:m{v}_0\cos \theta =m{v}_x$$

줄이 팽팽해진 직후 줄에 연결된 끝은 순간적으로 회전운동을 하므로 줄방향 속도성분이 0이 되어야 한다.

$$v_{\parallel }=v_y+\omega \frac{\ell }{2}\sin \theta =0$$

미지수 $v_x,v_y,\omega$ 3개에 식이 3개 제공되므로 풀 수 있고, 

$$\begin{array}{c}{v}_x=v_0\cos \theta =\frac{v_0}{\sqrt{2}}\\ \omega \ell =\frac{6v_0{\sin }^2\theta }{1+3{\sin }^2\theta }=\frac{6}{5}{v}_0\\ v_y=-\omega \frac{\ell }{2}\sin \theta =-\frac{3v_0}{5\sqrt{2}}\end{array}$$

붙잡는 과정에서 충격량 $\overrightarrow{J}=J\hat{i}$이 동전에 전달된다(전제: 붙잡는 순간 동전면이 $y-z$평면에 있고, 위에서 내려다 볼 때 반시계방향으로 회전한다. 따라서 $\overrightarrow{\omega }=\omega \hat{k}$). 붙잡힌 직후 운동량 변화는

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{P}=J\hat{i}$$  충격량은 각운동량도 변화시키므로 (붙잡힌 지점: ${\overrightarrow{r}}_P=R\sin \theta \hat{j}+R\cos \theta \hat{k}$)

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{L}={\overrightarrow{r}}_P\times \mathrm{\Delta }\overrightarrow{P}=-JR\sin \theta \hat{k}+JR\cos \theta \hat{j}$$

따라서 붙잡힌 직후 동전의 각운동량은

$${\overrightarrow{L}}_f=I_z\omega \hat{k}-JR\sin \theta \hat{k}+JR\cos \theta \hat{j}$$

붙잡히 지점은 정지하므로

$${\overrightarrow{v}}_f={\overrightarrow{v}}_{\text{cm}}+{\overrightarrow{\omega }}_f\times {\overrightarrow{r}}_P=0$$

$$\frac{J}{M}\hat{i}-\omega R\sin \theta \hat{i}+\frac{1}{I_z}(JR\sin \theta )R\sin \theta \hat{i}+\frac{1}{I_y}(JR\cos \theta )R\cos \theta \hat{i}=0$$

그런데 $I_y=I_z=\frac{1}{4}M{R}^2$이므로

$$J=\frac{M}{5}\omega R\sin \theta$$ 회전축에서 먼 지점을 붙잡을수록 더 큰 충격이 필요함을 알 수 있다. 붙잡히기 직전 그 지점의 접선 속력이 

$$v_i=\omega R\sin \theta \to J=\frac{M}{5}{v}_i$$

이므로 붙잡힌 직후 질량중심이 움직이는 속력은

$$v_{f,\text{cm}}=\frac{J}{M}=\frac{v_i}{5}$$