Geometry & Recognition

저울 위에 올려진 물이 담긴 그릇이 있다. 이 그릇에 손가락을 (바닥에 닿지 않게) 넣으면 저울의 눈금이 어떻게 변할까?

1. 변하지 않는다: 손가락은 사람이 지탱하므로 저울에 영향이 없다.

2. 증가한다: 손가락을 넣으면 수면이 높아져서 바닥에 작용하는 압력이 증가하므로

3. 감소한다: 물이 아래로 누르는 힘의 일부를 손가락이 옆으로 분산시키므로(물에 손가락을 넣으면 옆에서 작용하는 압력을 느낀다)

스티로폼을 줄을 이용해서 용기의 물에 완전히 잠기도록 하였다. 이 경우 스티로폼에 작용하는 부력은 스티로폼의 무게와 줄의 장력에 의해서 균형을 이룬다. 연결된 줄을 끊어서 스티로폼이 물에 떠 있는 상황이 되면 저울의 눈금은 어떻게 변할까?

1. 증가한다: 줄이 위로 당기는 힘이 사라져 그릇 무게가 그대로 저울에 작용하므로 

2. 감소한다: 스티로폼이 뜨면 물의 높이가 내려가서 바닥을 누르는 압력이 줄어들므로(압력은 높이에 비례)

3. 변함없다: 어차피 그릇+물+스티로폼의 무게는 변함없으므로

4. 정보가 부족하다.

모래가 섞인 얼음을 물이 담긴 컵에 넣었더니 물에 뜬다. 얼음이 다 녹으면 수면의 높이는 어떻게 될까?

1. 올라간다.

2. 변함없다.

3. 내려간다.

4. 모래의 양에 따라 다르다.

설명보기

얼음이 뜨는 이유는 부력 때문이다. 부력의 크기는 얼음의 무게와 같고, 또 얼음의 잠긴 부분이 밀어낸 물의 무게와 같다. 불순물이 없는 얼음의 경우 다 녹으면 물이 되고 이 물의 무게(=얼음의 무게)는 잠긴 부분이 밀어낸 물의 무게와 같으므로 수면은 변화가 없다. (얼음이 녹아 생긴 물의 양은 원래 잠긴 부분을 채울 만큼이다)

 

모래가 섞인 얼음에서 얼음 부피를 $V_{ice}$, 모래 전체의 부피를 $V_{sand}$라면

$$\text{부력=모래 얼음 부피}\to {\rho }_{w}g{V}_{\text{잠김}}={\rho }_{ice}g{V}_{ice}+{\rho }_{sand}g{V}_{sand}$$$$\therefore V_{\text{잠김}}=\frac{{\rho }_{ice}}{{\rho }_w}{V}_{ice}+\frac{{\rho }_{sand}}{{\rho }_w}{V}_{sand}$$

여기서, $\frac{{\rho }_{ice}}{{\rho }_w}{V}_{ice}$는 순수한 얼음이 밀어낸 물의 부피로, 앞에서 설명한 대로 수면의 높이를 변화시키지 않는다. 그러나 $\frac{{\rho }_{sand}}{{\rho }_w}{V}_{sand}(>V_{sand})$는 모래(전체)를 띄우기 위해서 밀려난 물 부피이다. 얼음이 녹아 모래가 가라앉으면 $V_{sand}$만큼의 물이 밀려나므로 수면은 내려가게 된다:

$$V_{\text{잠김}}>\frac{{\rho }_{ice}}{{\rho }_w}{V}_{ice}+V_{sand}$$

 

이는 배에 실린 돌을 물에 던지면 수면이 내려가는 이치와 같다.

 

 

Q1. 기포가 섞인 얼음이 녹으면 수면은 어떻게 될까?(기포의 무게는 무시할 수 있다).

Q2. 배에 실린 가벼운 스티로폼을 물에 던지면 수면은 어떻게 될까?