Kepler의 1 법칙(2)

Kepler의 제1법칙은 행성의 궤도가 태원이며, 태양이 그 초점 중 하나에 놓인다는 사실을 말한다. 여기서는 뉴턴 역학에서의 보존법칙을 이용하여 기하학적인 증명을 보이도록 한다. 행성에 작용하는 힘이 중심력이므로 (단위질량당) 각운동량이 보존되고, 행성의 운동은 하나의 평면 안에서 일어남을 의미한다.

$$ \vec\ell = \vec r \times \vec v= \text{const}$$

그리고 중력이 보존력이므로 (단위질량당) 역학적에너지 역시 시간에 대해서 일정하게 유지된다.

$$ \varepsilon = \frac{1}{2} v^2 - \frac{k}{r} = \text{const} ~~~~\quad\quad( k=GM_\text{sun})$$

행성이 공간적으로 일정한 영역 안에서 운동하기 위해서는 역학적 에너지가 음수, $\varepsilon <0$이어야 한다. 이는 행성의 속도가 유한하며, 행성이 원점(태양)으로부터 무한히 멀어질 수 없음을 의미한다. 따라서 궤도는 원점을 중심으로 하는 어떤 유한한 영역 내부에 제한된다. 속도가 0일 때 원점에서 가장 멀어질 수 있는데 그 거리가 $R=- k /\varepsilon$이다. 즉, 원점을 중심으로 하고 반지름 $R$인 원 $C$ 내부에 궤도가 제한된다. 행성의 위치벡터 방향으로 $C$의 원주 위의 점을 $\vec{s}$라면

$$ \vec{s} = - \frac{k}{\varepsilon} \frac{\vec{r}}{r}$$

역학적에너지가 보존되므로 이 벡터의 크기는 시간에 무관함은 당연하다.

$$ s=|\vec{s}| = \frac{k }{|\varepsilon|}=\text{const}$$

행성위치에서 접선에 대한 $\vec{s}$의 대칭위치를 $\vec{t}$라고 할 때 이를 구해보자. 우선 $\vec n = \vec{v} \times \vec{\ell}$이라면 이는 행성 위치에서 접선에 수직인 방향이 된다. 따라서 $\vec{t}$는 

$$ \vec{t}  = \vec{s} - 2 \big[ ( \vec{s}- \vec{r} ) \cdot \vec{n} \big] \frac{\vec{n}}{n^2}$$

으로 쓸 수 있다.

우선

$$ (\vec{s}-\vec{r})\cdot \vec{n}=  -( \varepsilon+ k/r) \frac{\ell^2}{\varepsilon}$$

$$ n^2 =  v^2 \ell^2 = 2 (\varepsilon + k/r) \ell^2$$

이므로

$$ \vec{t} = -\frac{k}{\varepsilon} \frac{\vec{r}}{r} + \frac{1}{\varepsilon} \vec{v} \times \vec{\ell} = \frac{1}{\varepsilon} \vec{d}$$

여기서 $\vec{d}$는 Laplace-Runge-Lenz vector로 이 역시 보존이 된다. 따라서 $\vec{t}$는 상수벡터이다.

이제 행성의 위치에서 $\vec{t}$까지 거리($|\vec{r}-\vec{t}|$)와 원점까지 거리($|\vec{r}-0|$) 합이 일정함을 보이자. 즉 행성의 위치는 $\vec{t}$와 원점을 초점으로 하는 타원궤도에 있음을 보일 수 있다. 우선 그림에서 

$$ | \vec{r}-\vec{t}| = |\vec{r}-\vec{s}|$$

$$ | \vec{r}- \vec{s}| + |\vec{r}| = |\vec{s}|$$

이므로

$$ |\vec r - \vec{t}| + |\vec{r} - 0| = \frac{k}{|\varepsilon|}=\text{const}$$이어서 헹성의 위치벡터가 장축의 길이가 $k/|\varepsilon|$인 타원 상에 있음을 명확히 보여준다.