Kepler의 1 법칙(3)

케플러의 1법칙을 행성에 작용하는 힘이 태양에서 거리의 제곱에 반비례하는 중심력(따라서 각운동량이 보존되며, 행성이 위치벡터가 단위시간 동안 휩쓴 면적이 일정하다)이라는 사실만을 이용해서 기하학적 방법으로 유도해 보자.

우선 행성이 태양을 기준으로 미소각 $\Delta \theta$ 만큼 이동했을 때 위치벡터가 쓸고 간 면적은 

\[ \Delta A = \frac{1}{2} r^2\Delta \theta   \]

각운동량 보존에 의해 단위시간당 쓸고 간 면적이 일정하므로 $\Delta t$초 동안 쓸고 간 면적은 

\[ \Delta A = \frac{\ell }{2} \Delta t\]

여기서 $\ell$은 단위질량당 각운동량이다. 따라서 

\[ \Delta t =  \frac{1}{\ell} r^2 \Delta \theta \]

행성이 힘이 받으므로 속도의 변화가 생기는데 뉴턴의 2법칙과 힘이 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 이용하면

\[ \Delta \vec{v} = \frac{\vec{F}}{m} \Delta  t = -\frac{k}{\ell}  \Delta \theta \hat{r}  = \frac{k}{\ell} \Delta \hat \theta\]

여기서 $k =GM_\text{sun}$, $\Delta \hat\theta = -\Delta \theta \hat{r}$임을 이용했다. 이 식을 속도벡터 공간에서 보면 속도의 변화가 크기의 변화는 없고 방향만 일정하게 바뀜을 보여준다. 즉, 속도벡터 공간에서는 속도벡터의 끝은 반지름 $k/\ell$인 원을 그린다. 행성 궤도 운동의 hodograph가 힘이 중심력, 그리고 세기가 거리의 제곱에 반비례하는 경우 원임을 보인 것이다. 

속도벡터 공간에서 속도변화는 원의 접선방향($\hat{\theta}$)이지만 위치벡터 공간에서는 $-\hat{r}$ 방향이므로 행성의 궤도를 구하기 위해서 반시계방향으로 90도 회전된 속도벡터를 이용하자. 각운동량 방향이 $\hat{k}$이므로

\[ \vec{u} \equiv \hat{k} \times \vec{v}\]

그리고 속도변화는 

\[ \vec{z} \equiv \hat{k} \times \left( \frac{k}{\ell} \hat{\theta} \right) = - \frac{k}{\ell} \hat{r} \]

속도벡터 공간에서 속도의 회전의 중심(속도벡터의 시작)이 반드시 원의 중심이 아닐 수 있으므로 원의 중심에서 회전중심의 차이는 상수가 된다. 이를 구하기 위해서 

$$ \vec{d} \equiv \vec{u}- \vec{z}= \vec{u} + \frac{k}{\ell} \hat{r}$$

우선 $\vec{d}$는 상수벡터임을 증명하자.

\begin{align} \Delta \vec{d} &= \hat{k}\times \Delta \vec{v} + \frac{k}{\ell} \Delta\hat{r} \\  &= \hat{k} \times \left(  - \frac{k}{\ell} \Delta \theta \hat{r} \right) + \frac{k}{\ell} \Delta \theta \hat{\theta} = 0\end{align}

여기서, $\Delta\hat{r}= \Delta \theta \hat\theta$, $\hat{k}\times \hat{r} = \hat\theta$임을 이용했다.

이제 행성의 궤도식을 구하자. 각운동량이 $\vec\ell = \vec{r}\times \vec{v}$이고, 상수벡터이므로

\begin{align} \ell = \hat{k} \cdot \vec\ell &= \hat{k}\cdot (\vec{r} \times \vec{v}) = -\vec{r} \cdot (\hat{k} \times \vec{v}) = -\vec{r}\cdot \vec{u} \\ &= -\vec{r}\cdot \vec{d} + r \frac{k}{\ell} = \frac{k}{\ell} r \left( 1- \frac{\ell d}{k} \cos \theta\right)  \end{align}

여기서 $\theta$는 $\vec r$ 과 $\vec d$의 사이각이다. 따라서 행성의 궤도는 다음과 같이 conic section으로 표현된다.

$$ r =  \frac{\ell^2/k}{1- \frac{\ell d}{k} \cos \theta}$$

그러면 $d$의 크기는 어떻게 알 수 있는가?

$$ v^2 = u^2 = \left| \vec{d} - \frac{k}{\ell}\hat{r} \right|^2 = d^2 + \frac{k^2}{\ell^2} - 2 \frac{k}{\ell}d \cos \theta = d^2 - \frac{k^2}{\ell^2} + 2\frac{k}{r}$$

$$\to~~\frac{1}{2}v^2 - \frac{k}{r} = \frac{1}{2} \left(d^2 - \frac{k^2}{\ell^2} \right)$$로 표현되고 우변이 상수이므로 역학적 에너지가 보존됨을 확인할 수 있다. $d$는 역학적에너지와 각운동량을 이용해서 얻을 수 있다.