Geometry & Recognition

진자의 주기는 회전축에서 진자의 무게중심까지의 거리인 유효거리에 제곱근에 비례한다. 두레박에서 물이 빠지면 물의 질량중심이 회전축에서 멀어지므로 진자 전체의 질량중심도 멀어진다. 따라서 진자의 유효 길이가 길어지는 효과가 생기고 주기도 길어진다. 그런데 물이 너무 많이 빠지면 남아 있는 물에 의한 질량중심의 기여가 줄어들므로 물이 완전히 빠질 때까지 다시 유효 길이가 감소한다. 따라서 주기도 다시 감소한다.

$b=a/2$인 경우

질량중심의 운동에너지와 위치에너지를 구해야 한다. 접촉점이 이동한 거리가 $R\theta$이므로 질량중심의 위치는 (작은 진동만 고려하면 $\theta^2$항까지만 유지하면 된다)
\begin{align*}
x &= (R+b)\sin \theta -R \theta \cos \theta 
\approx (R+b)\theta -R\theta(1-\frac{1}{2} \theta ^2  )= b \theta\\
y &= (R+b) \cos \theta + R \theta \sin \theta 
\approx  (R+b) (1-\frac{1}{2} \theta ^2 ) + R\theta^ 2=(R+b) + \frac{1}{2} (R-b) \theta^2
\end{align*}
따라서 질량중심의 속도 성분은 작은각 근사를 할 때,
\begin{align*}
\dot{x} &= (R+b) \cos \theta \dot{\theta} - R \dot{\theta} \cos \theta + R \theta \sin \theta \dot {\theta}
 \approx  b \dot{ \theta } \\
\dot{y} & \approx  0
\end{align*}
운동에너지와 위치에너지는
\begin{align*}
K  & \approx  \frac{1}{2}  m b^2 \dot {\theta }^2 
+ \frac{1}{2} \frac{1}{6} m (2b)^2  \dot { \theta }  ^2 
= \frac{5}{6} mb^2 \dot{\theta}^2  \\
U &= mgy  
\approx  mg(R+b)(1-\frac{1}{2} \theta ^2 ) + mgR \theta ^2 
= mg(R+b) +\frac{1}{2} mg  (R-b) \theta ^2
\end{align*}

역학적 에너지가 보존되므로 이를 시간에 대해 미분하면
$$
\frac{5}{3}mb^2 \ddot{ \theta} \dot {\theta}+ mg (R - b) \theta \dot{\theta} =0
\Longrightarrow
\ddot{ \theta} +  \frac{3 g(R-b)}{5b^2} \theta = 0
$$

따라서 각진동수는
$$ \therefore ~\omega^2 =  \frac{3 g(R-b)}{5b^2}$$