Geometry & Recognition

인간 눈의 시야각은 180도를 넘기 때문에 지상에서 하늘을 보면 (시야를 가리는 방해물이 없다면) 무한히 넗게 보인다. 그럼 잔잔한 호수에 잠수해서 하늘을 쳐다보면 어떻게 보일까? 우리가 물체를 본다는 것은 그 물체에서 나오거나 반사된 빛이 우리 눈으로 들어옴을 의미한다. 그런데 공기 중에서 직선으로 진행하던 빛이 물속으로 들어오면 경로가 꺾이게 된다. 이는 Snell의 법칙으로 기술이 되는데 수면에 수직한 방향에 대해서 $\theta_\text{air}$으로 공기 중에서 물속으로 들어오는 빛은 $\theta_\text{water}$만큼 꺾여서 물속에서 진행하는데, 물의 굴절률을 $n_\text{water}$라 하면 수식으로는 

$$ \sin \theta_\text{air} = n_\text{water} \sin \theta_\text{water}$$으로 표현된다. 물의 굴절률이 $n_\text{water}\approx 1.333$ 정도 이므로 하늘에서 다양한 각도로 수면에 입사해서 사람의 눈에 들어오는 빛을 생각해 보면 항상 $\theta_\text{water} < \theta_\text{air}$임으로 알 수 있다. 특히 수면에 거의 나란하게 들어오는 빛($\theta_\text{air}=90^\circ$)은 물속에서는 

$$ \theta_\text{water} = \sin^{-1} \frac{1}{n_\text{water}} \approx 49^\circ$$로 들어오는 것으로 보인다.

사람은 자신의 눈에 들어오는 빛의 방향으로 물체의 위치를 파악하므로 물속에서는 하늘과 지상의 경계가 마치 자신의 눈에는 $49^\circ$에 있는 것으로 인식하게 된다. 호수가 충분히 넓다면 모든 방향의 수면에 나란하게 들어오는 빛은 $49^\circ$로 들어오는 것으로 인식하므로 물속에서는 하늘이 둥근 원안에 있는 것으로 보이게 된다. 그 각도 바깥은 수면에서 전반사 현상에 의해서 (충분히 맑은 물이라면) 호수 내부의 모습이 보이게 된다. 눈이 수면에서 $d$만큼 아래에 있다면 하늘은 반지름이

$$ R \approx   d \tan 49^\circ$$

인 원 내부에 있는 것으로 보일 것이다. 역설적이게도 수면에 가까이 있을수록 하늘이 더 작게 보인다.