Geometry & Recognition

길이 $L$이 막대가 같은 길이의 줄에 그림과 같이 매달려 있다가 운동을 시작한다. 막대와 바닥사이에 마찰은 없다. 막대의 질량중심 속력의 최댓값은?

풀이: 막대 맨 아래쪽은 매끄러지고 줄에 연결된 부분은 회전을 하게 된다. 따라서 막대는 질량중심의 병진운동과 더불어 질량중심에 대한 회전운동 에너지를 가지는데, 역학적 에너지 보존에 의해서 처음 위치에너지와 같아야 한다. 병진운동에너지가 최대가 되는 위치는 회전각속도가 0이 되어야 한다. 막대가 가장 아래로 내려온 위치에서 줄은 수직이 되므로 회전각속도가 0이 되어야 한다(회전을 한다면 줄에 연결된 부분이 더 내려가야 하는데 가장 낮은 위치이므로 불가). 이때 바닥 부분과 줄에 연결된 부분의 속도는 같아지고 이 속도가 질량중심 속도와 같다. 역학적 에너지 보존을 이용하면

$$\mathrm{\Delta }U=mg(\frac{\sqrt{2}-1}{2}L-\frac{\sqrt{2}}{4}L)=\frac{\sqrt{2}-2}{4}mgL$$

$$\mathrm{\Delta }K+\mathrm{\Delta }U=0\to \frac{1}{2}m{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}I\cdot 0^2=\frac{2-\sqrt{2}}{4}mgL$$

$$\to v_{cm}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}gL}$$

이 순간 질량중심의 가속도는? 막대에 대해서 알 수 있는 사실은 막대 top과 bottom의 운동이다. Bottom은 수평운동을 하므로 수평 가속도 성분만 있고, top은 수직과 수평성분을 가질 수 있다. 이 두 지점의 평균이 질량중심의 가속도이고, 이때 막대에 작용하는 힘은 수직성분만 있으므로 top과 bottom의 가속도 수평성분은 서로 반대여야 한다. 따라서 $a_{cm}=\frac{1}{2}{a}_{top,y}$이고, top 수직가속도는 줄에 매달린 원운동의 구심가속도에 해당한다.

$$a_{top,y}=\frac{v_{top}^2}{L}=\frac{v_{cm}^2}{L}\to a_{cm}=\frac{1}{2}{a}_{top,y}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}g$$

이 결과와 운동방정식, 그리고 $y_{cm}=\frac{L}{2}\sin \theta$ 관계를 이용하면 이 순간 줄에 걸리는 장력과 바닥의 수직항력을 계산할 수 있다.

반지름이 $R$인 원판을 회전시킨 후 마찰이 있는 바닥에 놓았다. 원판의 각가속도는?

힌트: 원판을 미소링으로 분해를 한 후 각 링에 작용하는 마찰력에 의한 토크를 계산하자. 반지름 $r$과 $r+dr$ 사이의 링이 만드는 마찰토크는 (원판의 단위면적당 질량=$\sigma$)

$$d\tau =-f_{k}r=-(\mu dmg)r=-\mu (\sigma 2\pi rdr)gr=-2\pi \mu \sigma g{r}^{2}dr$$

이므로 모든 미소링의 기여를 합하면

$$\to \tau =\int d\tau =-2\pi \mu \sigma g{\int }_0^R{r}^{2}dr=-\frac{2\pi }{3}\mu \sigma g{R}^3=-\frac{2}{3}\mu mgR$$

따라서 회전운동 방정식 $\tau =I\alpha$에 적용하면 각가속도는

$$\alpha =-\frac{4\mu }{3}\frac{g}{R}$$

달표면의 물질은 달의 인력뿐만 아니라 지구의 인력도 받는다(물론 태양의 인력도 받지만 무시하자). 따라서 달이 지구에 너무 가까운 궤도에 생성되었다면 달표면의 물질에 작용하는 지구중력이 너무 세져서 달이 온전히 궤도운동을 하지 못하고 부서졌을 것이다. 달이 부서지지 않고 지구를 돌 수 있는 궤도 반지름의 최솟값은? 달은 변형이 될 수 있지만 간단하게 강체로 보자.

풀이: 달의 공전각속도는 $\omega$라고 하면 지구중력이 구심력 역할을 한다. 달 중심에서 지구 중심까지의 거리를 $d$라면 달의 공전각속도는

$${\omega }^{2}d=\frac{G{M}_E}{d^2}$$

지구를 바로 보는 쪽 달 표면의 입자는 지구 중력(지구 중심 방향), 달의 중력(달 중심 방향)+ 달 표면이 지탱하는 수직항력(지구 중심 방향)의 합력을 구심력으로 하여 달과 더블어 공전을 한다.

$${\omega }^2(d-R_m)=\frac{G{M}_E}{(d-R_m{)}^2}-\frac{G{M}_m}{R_m^2}+N$$  

여기서 $d\gg R_m$이므로 우측 첫 항에 대해 테일러 전개를 하면

$$\frac{G{M}_E}{d^3}(d-R_m)\approx \frac{G{M}_E}{d^2}+2\frac{G{M}_E{R}_m}{d^3}-\frac{G{M}_m}{R_m^2}+N$$

$$\to N=-3\frac{G{M}_E{R}_m}{d^3}+\frac{G{M}_m}{R_m^2}$$

입자가 달 표면에 붙어 있을 조건이 $N\ge 0$이므로 

$$d\ge {\left(3\frac{M_E}{M_m}\right)}^{1/3}{R}_m$$

등호는 달 표면의 입자가 달과 지구의 중력만 받고 달과 함께 공전할 수 있는 최소 거리를 의미한다. 이보다 거리가 더 줄어들면 지구의 중력이 달의 중력보다 커져서 달 표면의 입자는 달에서 작용하는 다른 힘의 작용이 없이는 달과 같이 공전할 수 없게 되어 달 표면에서 떨어지게 된다.

최소거리를 달과 지구의 밀도로 표현하면 $M_E/M_m=({\rho }_E/{\rho }_m)(R_E/R_M{)}^3$이므로

$$d_{\text{min}}=\sqrt[3]{3}\times R_E{\left(\frac{{\rho }_E}{{\rho }_m}\right)}^{1/3}\approx 1.45\times R_E{\left(\frac{{\rho }_E}{{\rho }_m}\right)}^{1/3}$$

달이 완전한 강체가 아니므로 지구쪽으로 길게 늘어질 것이므로 이 한계는 더 커질 것으로 예상할 수 있다는 데, 이를 고려하면

$$d_{\text{min}}\approx 2.45\times R_E{\left(\frac{{\rho }_E}{{\rho }_m}\right)}^{1/3}$$로 계산된다. 이 거리의 한계를 Roche limit이라고 부르고 지구-달의 경우는 $$d_{\text{Roche}}\approx 3.445\times R_E$$다. 실제 지구-달 사이거리는 $60R_E$ 정도이므로 달에서 부스러기가 지구로 떨어질 염려는 없다.