Geometry & Recognition

손으로 누르기 전에는 위쪽  물체의 무게 때문에 용수철은 원래 길이에서 $mg/k$만큼 아래로 압축이 된다. 여기에 추가로 $A$만큼 누른 후 손을 떼면 위쪽 물체는 처음 압축 위치를 기준으로 위-아래로 진동을 한다. 아래 물체가 받는 힘은 자체 무게, 용수철이 누르거나 당기는 힘 그리고 바닥이 주는 수직항력이다. 아래 물체가 바닥에서 떨어지지 않으려면 수직항력이 0보다 커야 한다. 중력은 항상 일정하므로 수직항력이 가장 작아지는 경우는 용수철이 원래의 길이보다 늘어나는 경우로 위쪽 물체가 최고 높이에 있을 때이다.  바닥에서 떨어지지 않는 경우 아래 물체에 작용하는 알짜힘 = 0 이므로

$$\begin{array}{c}\sum F_y=F_N-mg+k(A-mg/k)=0\\ F_N=2mg-kA\\ F_N>0\to A<2mg/k\end{array}$$

따라서 아래 물체가 바닥에서 떨어질 조건은 $A\ge 2mg/k$. 

처음 용수철은 원래 길이($L_0$)보다 $mg/k=d_0$만큼 압축이 된 상태($L=L_0-d_0$)이다. 바닥의 물체가 뜨기 위해서는 용수철이 원래길이보다 $d_0$만큼 더 늘어나야 한다. 위로 $v$로 움직이는 관찰자가 보면 바닥에서 떨어지기 직전 역학적 에너지는(위쪽 물체를 중력 위치에너지 기준점으로 삼음)

$$E_i=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{d}_0^2-mg(L+2d_0)$$

충돌 직전 역학적 에너지는 용수철의 길이가 0이 되게 압축이 되었으므로

$$E_f=\frac{1}{2}k(L+d_0{)}^2$$

이다. 정리하면 

$$v^2=\frac{k}{m}{(L+\frac{2mg}{k})}^2\ge \frac{k}{m}{\left(2\sqrt{\frac{2Lmg}{k}}\right)}^2$$ 

$$\therefore v\ge 2\sqrt{2gL}$$