막대의 한 지점을 축으로 작은 진동을 일으킬 때 주기를 최소로 만들기 위한 조건은?
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두 개의 동일한 용수철(늘어나지 않은 길이=$h$)에 연결된 물체를 $x$방향으로 1cm 만큼 당긴 후 놓았더니 주기가 1초인 진동을 한다. 만약 당긴 거리를 2cm로 하면 진동의 주기는 어떻게 될까? 단, $h \gg 2\text{cm}$이다.
A) 1초
B) 2초
C) 0.5초
D) 정보가 부족하다.
차원해석이면 충분하다. 풀이는 https://kipl.tistory.com/199
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회전축에 대해서 자유롭게 진동할 수 있는 막대가 있다. 막대의 끝에 원판을 덧붙이는데, (A)의 경우 원판이 중심축에 대해서 자유롭게 회전할 수 있지만, (B)의 경우는 고정되어 있다. 막대를 진동시킬 때 주기가 더 긴 쪽은?
1. A
2. B
3. 같다.
4. 막대의 모양과 원판의 크기에 따라 달라질 수 있다.
* 강체의 에너지 관점에서 접근하면 복잡한 과정 없이도 답을 추론할 수 있다.
https://kipl.tistory.com/506 풀이:
물체의 운동방정식을 쓰면,
$$ m \frac{d^2 x }{dt^2} = -2 k (\sqrt{x^2 +h^2}- h) \times \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}$$
$ h \gg |x|$이므로 정리하면 다음의 운동방정식을 얻는다.
$$ \frac{d^2 x }{dt^2} = -\frac{k}{m h^2}x^3 = -D x^3 ,\qquad D=\frac{k}{mh^2} $$
이 방정식을 적분하면 주기 공식을 얻을 수 있지만 여기서는 차원해석을 쓰자. 운동방정식에 관여하는 물리량은 $D$와 초기조건에 해당하는 진폭($A$) 뿐이므로 주기는 이 두 물리량의 조합으로 쓰여져야 한다.
$$ T = C D^\alpha A^\beta$$여기서 $C$는 차원이 없는 상수이다. 양변의 차원을 비교하면 $\alpha=-1/2$, $\beta=-1$이어야 한다. 따라서 주기를
$$T = \frac{C}{\sqrt{D}A}$$
처럼 표현할 수 있으므로 진폭이 2배 되면 주기는 절반으로 줄어든다.
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