Geometry & Recognition

진자의 주기를 구할 때 보통 작은 진동 근사를 사용한다. 진자의 진폭이 크지 않는 경우 주기는 진폭에 무관하게 일정한 값 $T_0=2\pi \sqrt {\frac {\ell}{g}}$를 갖는다. 그럼 진폭이 커지는 경우는 어떻게 될까?

운동 방정식을 써도 되지만 역학적 에너지가 보존되므로 이를 이용하면(회전 관성: $I=m\ell^2$, 진폭=$\theta_0$)

$$ \frac {1}{2} I \Big(\frac {d\theta}{dt}\Big)^2 + mg \ell (1 - \cos\theta)=\text{const}= mg\ell (1- \cos \theta_0) \\  \rightarrow \quad \Big(\frac {d\theta}{dt} \Big)^2  =\frac {2g}{\ell} (\cos \theta- \cos \theta_0).$$

우변을 $\theta_0, ~\theta$에 대해서 전개하면

$$ \Big( \frac { d\theta}{dt } \Big)^2   = \frac {g}{\ell}\Big(\theta_0^2 -\frac {1}{12} \theta_0^4 - \theta^2 + \frac {1}{12} \theta^4+...\Big) =\frac{g}{\ell}(\theta_0^2 -\theta^2) \Big( 1 - \frac{1}{12} (\theta_0^2 + \theta^2)+...\Big)$$로 써지는데 작은 각 근사를 벗어났을 때 가장 큰 기여를 하는 $-(\theta_0^2 + \theta^2 ) /12$항이  음의 기여를 한다. 이는 같은 위치에서 작은 각 근사를 할 때보다 각속도가 더 작아짐을 의미한다. 따라서 진자가 더 느리게 움직여서 주기가 길어질 것이라는 예측을 구체적인 계산 없이도 할 수 있게 된다.

이제 주기를 구해보자. 에너지 보존식에서 변수 분리를 해서 적분하면 주기에 대한 식

$$T = \int dt = 4 \sqrt {\frac {\ell}{2g}} \int_0^{\theta_0} {\frac {d\theta}{\sqrt {\cos \theta - \cos \theta_0}}}$$을 얻는다. 여기서 $\sin(\theta/2) = \sin (\theta_0/2) \sin(\varphi )$로 치환을 하면

$$T = 4\sqrt { \frac { \ell }{g}} \int_0^{\pi/2} {\frac {d \varphi}{\sqrt {1 - k^2 \sin^2 \varphi}}}, \quad k^2 = \sin^2(\theta_0/2).$$

진폭이 작은 경우($\theta_0  \ll 1 ~\Rightarrow ~k\rightarrow 0)$는 적분 값이 $\frac {\pi}{2}$이므로 $T \rightarrow 2\pi \sqrt {\frac {\ell}{g} }$가 됨을 확인할 수 있다.  위 적분은 타원 적분이라고 부르고 $k$가 주어지면 수치 연산을 통해서 그 값을 얻을 수 있다. 

좀 더 직관적으로 진폭에 따른 주기의 변화를 보기 위해서 (진자의 경우 $k^2 \le \frac {1}{2}$이므로) 급수 전개를 하면, 

$$\frac {1}{\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}}   = 1 +\frac {1}{2} k^2\sin^2 \varphi +\frac {1}{2}\frac {3}{2} k^4 \sin^4 \varphi +\dots $$

이므로 주기는

$$T = 2\pi \sqrt { \frac {\ell}{g} } \left [ 1 + \Big( \frac {1}{2} \Big)^2 k^2 + \Big( \frac {1}{2} \frac {3}{4} \Big)^2 k^4 + \dots \right]\qquad \left( k = \sin \frac{\theta_0}{2} \right)$$

로 표현된다. 이 식은 진자의 진폭($\theta_0$)이 커지면 주기도 길어진다는 것을 명확히 보여준다.

강의동영상을 볼 수 있는 곳:

youtu.be/34zcw_nNFGU

물이 담긴 두레박 진자가 있다. 두레박 바닥에 구멍을 뚫려 있어 물이 샌다면 주기는 어떻게 변할까?

1. 변함없다.

2. 짧아진다.

3. 길어진다.

4. 짧아졌다가 다시 길어진다.

5. 길어졌다가 다시 짧아진다.

참고로 진자의 주기는 질량에는 무관하다.

경사진 벽에 그림처럼 공을 바싹 붙여서 놓으면 바닥과 벽은 수직방향으로 힘을 작용할 것이다. 물론 공은 중력도 받는다. 경사진 벽이 주는 힘은 수평 성분과 수직 성분이 있을 것이므로 공은 가만히 있지 못하고 오른쪽으로 가야 할 것 같은데 그렇지 않다. 바닥을 아주 미끄럽게 한 후 관찰해도 마찬가지이므로 마찰 때문은 아닐 것이다. 왜 그런가?

줄에 매달린 두레박에 물을 넣고 조금 흔들면 일정한 주기로 진동을 한다. 이 두레박의 물을 얼리면 진동의 주기는 어떻게 변할까?

1. 변함없다

2. 증가한다.

3. 감소한다.

https://kipl.tistory.com/494 풀이:

더보기

$b=a/2$인 경우

질량중심의 운동에너지와 위치에너지를 구해야 한다. 접촉점이 이동한 거리가 $R\theta$이므로 질량중심의 위치는 (작은 진동만 고려하면 $\theta^2$항까지만 유지하면 된다)
\begin{align*}
x &= (R+b)\sin \theta -R \theta \cos \theta 
\approx (R+b)\theta -R\theta(1-\frac{1}{2} \theta ^2  )= b \theta\\
y &= (R+b) \cos \theta + R \theta \sin \theta 
\approx  (R+b) (1-\frac{1}{2} \theta ^2 ) + R\theta^ 2=(R+b) + \frac{1}{2} (R-b) \theta^2
\end{align*}
따라서 질량중심의 속도 성분은 작은각 근사를 할 때,
\begin{align*}
\dot{x} &= (R+b) \cos \theta \dot{\theta} - R \dot{\theta} \cos \theta + R \theta \sin \theta \dot {\theta}
 \approx  b \dot{ \theta } \\
\dot{y} & \approx  0
\end{align*}
운동에너지와 위치에너지는
\begin{align*}
K  & \approx  \frac{1}{2}  m b^2 \dot {\theta }^2 
+ \frac{1}{2} \frac{1}{6} m (2b)^2  \dot { \theta }  ^2 
= \frac{5}{6} mb^2 \dot{\theta}^2  \\
U &= mgy  
\approx  mg(R+b)(1-\frac{1}{2} \theta ^2 ) + mgR \theta ^2 
= mg(R+b) +\frac{1}{2} mg  (R-b) \theta ^2
\end{align*}

역학적 에너지가 보존되므로 이를 시간에 대해 미분하면
$$
\frac{5}{3}mb^2 \ddot{ \theta} \dot {\theta}+ mg (R - b) \theta \dot{\theta} =0
\Longrightarrow
\ddot{ \theta} +  \frac{3 g(R-b)}{5b^2} \theta = 0
$$

따라서 각진동수는
$$ \therefore ~\omega^2 =  \frac{3 g(R-b)}{5b^2}$$

지구가 물체에 작용하는 중력의 세기는 지구의 중심(무게중심)에서 거리의 제곱에 반비례하게 작용한다. 컵 속에 각설탕을 넣는다고 하자. 각설탕은 지구 중력과 컵 중력을 받고 아래로 내려가지만 컵의 무게중심에 가까워질수록 거리가 작아지므로 컵이 작용하는 중력이 매우 커지게 된다. 각설탕이 어찌어찌해서 컵의 무게중심에 매우 가까운 아래쪽 적당한 위치에 도달하는 경우(B:경우) 위쪽으로 작용하는 컵의 중력이 아래쪽으로 작용하는 지구의 중력을 상쇄할 수 있다. 이 경우 각설탕은 무게중심 약간 아래쪽에서 떠있어야 하는데 이런 현상은 누구도 본 적이 없다. 왜 그럴까?