Geometry & Recognition

얼음 언덕의 질량=물체의 질량인 경우만 다루자. 언덕이 왼쪽으로 $u$의 속력으로 밀릴 때, 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕을 따라 원운동을 하므로 그 접선 속력을 $v$라 하자. 그러면 수평 운동량 보존에서 

$$ mu = m(v \cos \theta - u).$$

그리고 역학적 에너지 보존에서 (지상계) 

$$ mgR (1-\cos \theta) =\frac{1}{2} mu^2 + \frac{1}{2}m (u^2 +v^2 -2uv \cos \theta)$$

를 얻는다. 물체가 떠나는 시점에서 언덕은 더 이상 힘을 받지 않으므로 등속운동을 시작한다. 이 시점에서 얼음 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕에서 원운동을 끝내는 시점이다(수직항력=0 $\rightarrow$ 관성계). 따라서 구심력 역할은 중력의 중심성분이 한다.

$$ mg \cos \theta  =\frac{mv^2}{R}.$$ 

위 3 식을 정리하면

$$\cos^3 - 6\cos \theta +4 =0$$을 얻고, 근은 $$\cos \theta = \sqrt{3}-1 \quad ~~\therefore~ \theta = 42.94^\circ$$

또는 직접 $v$을 구하면

$$v=\sqrt{ \frac{4gR(1-\cos \theta)}{2-\cos^2 \theta}}$$

이므로 수평성분 $v\cos \theta $의 최대가 되는 각을 구해도 같은 결과를 얻는다.

가우스 법칙을 쓰면 접지 전에는 도체구 내부 표면에는 $-Q$(균일하지 않음), 따라서 전기적으로 중성이기 위해서는 외부 표면에는 $+Q$(균일하지 않음)의 전하를 가지고 있다. 접지를 시키면 전하가 접지를 통해서 이동하면서 변하게 된다: $Q \rightarrow q$. 외부에서 전기장은 정전차폐 때문에 오로지 구 외부 전하 $q$와 $2Q$만으로 주어진다. 그리고 도체구의 전위는 0으로 고정된다. 두 외부 전하에 의한 도체구의 전위는 내부에서는 전기장이 0이므로 중심에서 전위와 같다(외부 전하에 의한 전위만 계산하므로 원래 내부에 들어 있는 전하는 고려할 필요없다). 중심에서의 전위는 표면의 전하가 균일하지 않더라도 전기장과 달리 단순하게 계산된다:

$$V_{center} = k\frac{q}{R} + k\frac{2Q}{2R} = 0 \quad \rightarrow \quad q=-Q$$

따라서 접지를 하면 외부표면 전하가 $+Q$에서 $-Q$로 변하므로 $2Q$만큼의 전하가 빠져나간다.